ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕзависит от выбора начала. Если мы перенесем начало (рис. 15) из точки О в О', то в каждый момент движения Л1=О+К, где Q есть постоянный В. О'О; dR, dR п dR поэтому Отсюда следует, что В. — гг от выел dt сл бора начала не зависит, а характеризуется самим движением. Этот В. называется скоростью движения в момент t.
Функцию R(t) можно представить как сложную функцию R(s). где s — пройденный по траектории путь, зависящий от (. Дифференцируя R(t), как сложную функцию, и вводя обозначение сноdR „ рости получим: Рис. 15.
„ dR dR ds (15) dt=tv — Здесь f, попрежнему, есть тангенциальный В., а v есть скалярное значение скорости F= — . В. 1Г= dV = -т — называется ускорением движения. Дифdt ференцируя соотношение (15), получаем: dt, dv dt ds dv, dv ....
w-Mv+, drdTdtv+tdr°v n+tdl’ <16> т. e. известное разложение ускорения на тангенциальное и центростремительное. По существу, этими формулами исчерпывается, вся кинематика точки.
4. Интегрирование В-ных функций. Совершенно аналогично устанавливается интегрирование В-ных функций. Положим, что функция . F(0 задана в интервале от ^до^; разделим этот интервал на части dt^t^ — tit составим произведения вида F(^-') J^, где I/ — любое значение, содержащееся между tt и и просуммируем эти произведения.
Когда все участки деления dtt стремятся к нулю, то эта сумма обыкновенно стремится к" конечному предельному В-у, к-рый называется определенным интегралом: ^F(t) dt,
Если свободная материальная точка М, имеющая массу т движется под действием заданной силы F(t), то при прежних обозначениях: W == — F(t);F==y0 + — \ f F(t) dt, m
mJ/о /c=jR04-\ V(t) dt^Ro + Vot + — \ f’ F(t) dt.
J (o
wij iff
J /о
5.
Дивергенция В-ного поля и теорема ГаусеаОстроградского. Как мы видели, учение о
градиеше приводит от скалярного поля к векторному; В-ное поле порождает новое В-ное поле — вихревое поле; но оно порождает также имеющее большое значение скалярное поле, образуемое так называемой его дивергенцией. Оно ведет свое начало из гидродинамики. Если F есть скорость частицы движущейся жидкости в нек-рый момент t, a da — площадка, проходящая через точку М, в к-рой в этот момент находится частица, то количество жидкости, протекающее через эту площадку в элемент времени dt (по объему) определяется слагающей вектора-скорости FM, направленной по нормали к площадке и обращенной в ту сторону, в которую мы желаем определить ток (положительный или отрицательный); именно, оно равно Vnd<idt.
Количество жидкости, протекающее через конечную поверхность (рис. 16), равно Б. С. Э. т. IX.где интеграл нужно распространить на всю поверхность. Отвлекая отсюда геометрическую сторону дела, во всяком В-ном поле через любую поверхность, в нем расположенную, представляют себе ток, идущий в какую угодно сторону от него (если он имеет положительное значение в одну сторону от поверхности, то в противоположную он имеет противоположный знак; в этом смысле мы и говорим о токе в любую сторону поверхности). Интеграл, взятый по всей поверхности, fFnda (где 7^ есть скалярное значение проекции В-a F на нормаль, обращенную в выбранную сторону поверхности) называют векторным потоком, проходящим через поверхность в эту сторону. Если поверхность зам’7 кнутая, то можно / говорить о В-ном / потоке, вступаю/у > щем внутрь по/ / верхности, иливы/ / ходящем из нее.
/ / Гаусс и независи- / __ /
мо от него ОстроJ градский обнарурИс. 16. жили, что выходящий из замкнутой поверхности В-ный'поток можно выразить интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью, именно: Выражение, входящее под знаком интеграла множителем при элементе объема, представляет собою скаляр в подлинном смысле этого слова. Это число Г F, остающееся инвариантным при преобразовании ортогональных координат, в к-рых оно выражается формул».
дх ду dz 7 и называют дивергенцией В-ногополя.
Тождество (17) известно под названием теоремы Гаусса-Остроградс кого; если положить rF=k, то оно принимает вид: Fn da — ^kdva (19) Правую часть этого равенства можно рассматривать, как нек-рую массу, заполняющую огибаемый поверхностью объем с плотностью к. Исходя из этого, воображаемые массы, имеющие в каждой точке В-ного поля плотность, равную (или пропорциональную) его дивергенции, наз. эффектив н ыми массами поля; нек-рые авторы предпочитают называть их зарядом поля.
Из соображений, указываемых прикладными дисциплинами, из скаляра к целесообразно выделить постоянный множитель; полагают к — при чем е называют эффективной п остоянной, а (> — плотностью эффективных масс, или плотностью заряда.
Т. о., теорема Гаусса принимает вид: /Fnda=4ntM.
(20) Формула (20) выражает, что выходящий в векторном поле из замкнутой поверхности 9
