(5)
был выведен; во-вторых, он дает базу для изыскания общих приемов интегрирования этих уравнений. Этим и занимался Якоби; построенная им теория канонических уравнений дает единственные общие указания в деле интегрирования уравнений механики.
Но гораздо большее значение В. м. приобрели в деле установления дифференциальных уравнений физических процессов. В 1846 Дирихле, занимаясь интегрированием уравнения Лапласа, показал, что состояние равновесия электричества на системе изолированных проводников наступает при таком распределении электричества, когда определенный интеграл, распространенный на все поле,
То же, по существу, условие может быть представлено в форме 6f(U+T) dt, (6) известной под названием принципа Гамильтона; этот интеграл, в свою очередь, очень мало отличается от интеграла, к-рым пользовался Лагранж: f(T — U) dt.
(7) Заметим, что, с точки зрения вариац. исч., разыскание наибольших или наименьших значений (4) — (7) представляет существенно различные задачи, к-рые, однако, при наличии соотношения (2) приводят к одному и тому же результату. Но и с точки зрения механики они представляют различную ценность. Условие (5) дает дифференциальные уравнения динамики для какой угодно консервативной системы, при каких угодно связях. Именно, выразив положение системы и функций Т и U через то число независимых параметров, в к-рых система, по условию задания, определяется, мы непосредственно по уравнениям Эйлера-Лагранжа получим дифференциальные уравнения движения системы. Как известно, Лагранж в этом порядке идей получил свои канонические уравнения движения. Однако, у Лагранжа самый принцип не получил отчетливого выражения, Гамильтон же придавал ему мало цены. Он высказался даже в том смысле, что его принцип доставляет больше «умственного наслаждения», нежели пользы. Мало признания встречал принцип Гамильтона и среди других математиков. По мнению Клейна, это до нек-рой степени обусловливалось и реакцией против философов-идеалистов, сделавших этот принцип оплотом телеологического миросозерцания. Однако, после работ Якоби («Vorlesungen fiber Dynamik», Lpz., 1866) принцип Гамильтона получил всеобщее признание и вызвал широкое развитие В. м. Дифференциальные уравнения динамики представляют собою особый тип, характер к-рого — его отличие от других дифференциальных уравнений — тем и определяется, что они могут быть получены В. м-ом по принципу Гамильтона.
Отсюда двоякое значение этого принципа: во-первых, он дает единое средство для вывода дифференциальных уравнений движения, — правда, путем экстраполяции метода за пределы, в к-рых он, собственно,
достигает минимума, — точнее, когда вариация этого интеграла обращается в нуль.
Элемент интеграла представляет собою количество энергии, содержащееся в элементе объема; U здесь имеет то же значение, что и выше (потенциальная функция поля).
Вилльям Томсон старался использовать этот принцип для всей физики. Максуэлл приблизился к решению этой задачи для всей электродинамики настолько, что Абрагам в своем изложении максуэлловой электродинамики имел уже возможность построить всю теорию В. м-ми. Учение Эйнштейна представляет собою попытку в единой системе выразить все физические явления инвариантными дифференциальными уравнениями. Эмми Неттер и Гильберт показали, что эти дифференциальные уравнения могут быть получены В. м-ами.
Некогда Лаплас рисовал себе задачу теоретической физики, как построение системы дифференциальных уравнений, определяющих движение всех материальных частиц мироздания; это требовало безграничного комплекса дифференциальных уравнений.
Теперь ставится задача о разыскании единой функции, дающей интеграл, вариацией к-рого определяется физическое состояние мироздания. В этом широком масштабе задача, конечно, столь же утопична, как и задача Лапласа, и конкретно, понятно, никем не ставится; но она рисует направления теоретической физики, ставящей В. м. в основу всех своих построений.
Что касается телеологических взглядов, к-рые так настойчиво связывались с В. м., то они основаны на чистом недоразумении.
Во-первых, В. м-ми мы получаем дифференциальные уравнения физических процессов, приравнивая нулю вариацию тех или иных определенных интегралов. Но обращение в нуль вариации есть только необходимое, а не достаточное условие существования максимума или минимума.
Мы теперь хорошо знаем, что экстремум может вовсе не наступать, когда вариация обращается в нуль. Вся база для телеологической интерпретации В. м., вследствие этого, уже отпадает. Во-вторых, доказано, что всякая система дифференциальных уравнений может быть представлена как система уравнений Эйлера — Лагранжа для соответствующего определенного интеграла.
взятый от одной определенной точки траектории до другой, получил наименьшее возможное для него в этих пределах значение при условии, выражаемом интегралом (2).
Выражение |/ 2 (U + h) ds Мопертюи называет элементом действия силового поля, и, сообразно этому, открытый им принцип получил название «принципа наименьшего действия». В обозначениях вариационного исчисления он выражается так: движение свободной материальной точки в силовом поле между заданными двумя точками происходит так, что
У2(и+К) ds = 0.
