БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯДно удобным производство над степенными Б. р-ми операций, к-рые внутри круга сходимости (в общем круге, если рядов несколько) совершаются по тем же правилам, как и над многочленами, вплоть до дифференцирования и интегрирования.
Как известно, при помощи элементарных арифметических действий мы можем вычислять только значения простейших функций, т. н. целых и рациональных алгебраических функций (см.). Для вычисления более сложных функций их стараются выразить Б. р-ы. Уже Ньютон дал известные разложения для функций ех, sin®, cos®: «=>+?+
f+-+J-+-1
zy»3
л»5
/г»7
I
O1 Ж4
<• Ж6
. f
sin® = х — 57-+ Ej- — ~j- +••• .
О! Ж2
,
С08а; = 1—2Г+4Г-бГ + -’
I
(7)
J
вслед за чем Тэйлор (1715) указал общие методы такого разложения, хотя и в необоснованной форме. Б. р. (7) сходятся для всех значений ж. Логарифмический ряд, указанный Меркатором и Браункером: /г»2
/т>4
log(l+®)=®-^- + ^--^-+...
(8)
сходится только для значений ж, к-рые по абсолютной величине меньше 1; однако, из этого ряда можно получить хорошо сходящиеся ряды для вычисления натуральных логарифмов любых чисел.
Т. о., разложение функций в Б. р. прежде всего было применено для вычисления основных функций, введенных в математику ранее на основании тех или иных определений. Развернувшийся анализ бесконечно малых привел к основной задаче об интегрировании дифференциальных уравнений, наиболее важной во всех приложениях анализа. Очень скоро обнаружилось, что интегралы (решения) этих дифференциальных уравнений не могут быть вообще выражены ни в известных простейших функциях, ни в небольшом числе каких-либо других функций. Напротив того, каждое обыкновенное дифференциальное уравнение, как правило, приводит к своеобразной новой функции, и разложение ее в Б. р. в подавляющем большинстве случаев является наиболее надежным средством для ее выражения и вычисления.
Эта идея получила дальнейшее развитие.
Степенные ряды (7) сходятся для всех как вещественных, так и комплексных значений ж. Между тем, показательная и тригонометрические функции возникли, как функции вещественной переменной, т. — е. только для вещественных значений независимой переменной первоначальное их определение давало значения функций. Эйлер стал на ту точку зрения, что разложениями (7), правые части к-рых имеют определенные значения и для комплексных значений ж, эти функции определяются для комплексных значёний независимой переменной. Исходя из этого, он не только показал, что основные соотношения, связывающие показательные функции (закон умножения), и соотношения, связывающие тригонометрические функции,остаются в силе и для комплексных значений независимой переменной, но обнаружил вместе с тем замечательные зависимости, носящие его имя, между тригонометрическими и показательными функциями. Т. о., уже Эйлеру было ясно, что степенные Б. р. могут служить для определения функций и установления их свойств. Но шаткость теории рядов не дала возможности развернуться этой идее, пока трудами Гаусса, Коши и Абеля эти препятствия не были устранены.
Якоби обогатил математику т. н. эллиптическими функциями (см.)., а Абель — гиперэллиптическими (см.). Точкой отправления для того и другого еще служили определенные интегралы, в к-рых эти функции выражались; но для вычисления этих функций, получивших в приложениях анализа многочисленные применения, необходимо было развернуть их в Б. р. Абель подготовил все средства, к-рые дали Вейерштрассу возможность итти в этом направлении дальше: он установил ряды, к-рыми определялись основные эллиптические функции, и путем исследования этих рядов развил все свойства этих функций. Отсюда Вейерштрасс пошел еще дальше. Он стал на ту точку зрения, что наиболее общим средством для определения функции служит степенной Б. р. Правда, не все функции могут быть этим путем определены, и сообразно этому функции, определяющиеся степенными рядами, получили название аналитических функций. Аналитические функции имеют если не исключительное, то во всяком случае широко преобладающее значение во всех приложениях анализа. Вейерштрасс построил общую теорию аналитических функций (см. Теория функций), и с этого времени (с 70 гг. 19 в.) степенные Б. р. становятся наиболее мощным средством не только для вычисления, но также для определения и исследования функций.
Если степенные Б. р. получили основное значение в теории функций комплексной переменной, то для теории функций, зависящих от действительной переменной, вряд ли не 66лыпую роль сыграли тригонометрические ряды (см.). Так называют Б. р., общий член к-рого имеет вид: ап = сп cos пх дп sin пх, (9) Самый ряд выражают обыкновенно так:
со + (ci cos х дг sin х) + (с2 cos 2 х -|+ д2 sin 2 х) 4- (с3 cos 3 х + д3 sin 3 х) + ... (10) Б. р. этого рода также были известны уже Эйлеру. Каждый член ряда представляет собою периодическую функцию с периодом 2? г. Если поэтому ряд (10) сходится, то он выражает периодическую функцию с тем же периодом. Вследствие этого тригонометрические Б. р. получили широкое применение в физике, при изучении колебательных, вообще, периодических процессов.
Тригонометрическими Б. р. воспользовался для этой цели впервые Фурье (1811).
От Эйлера до Фурье вопрос представлялся в таком виде: если функция /(®) задана в интервале от 0 до (а к этому инвервалу можно линейным преобразованием независимой переменной привести всякий конеч-
