БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД .гаемых. Он оперирует с Б. р. совершенно так же, как с обыкновенными суммами, производя над ними действия и преобразования по тем же правилам. Это очень скоро привело к парадоксам и затруднениям. Получив, напр., известное разложение 1
1 — J- О/
=1 — ж + ж2 — Ж3+ •••
(3)
(в действительности имеющее место только при — 1 < х < 1), и полагая в нем ®=1, Эйлер отсюда заключал, что ряд 1—1 + 1—1+...
(4) равен (т. — е. имеет суммой) этот вывод подтверждался тем соображением, что при четном числе членов сумма составляет 0, при нечетном 1, что даст в среднем 1/2. Если выдающиеся математики инстинктивно или, вернее, по присущей им математической интуиции более или менее благополучно обходили такого рода скользкие места, то математики низшего ранга уходили в этом направлении очень далеко. Так, итал. математик Гв. Гранди, приводя ряд (4) к двум формам: (1—1)+(1_1) + (1—1)+... и
1 — (1—1) — (1—1) — (1—1) — из к-рых первая дает для суммы ряда величину, равную нулю, а вторая — единице, считает этим путем математически доказанным, что из 0 можно получить 1, а потому из ничего мог быть сотворен мир. Но не эти метафизические рассуждения, а грубые фактические ошибки, к к-рым часто приводило неосторожное обращение с Б. р., заставили математиков тщательно установить пределы, в к-рых можно безошибочно пользоваться ими. Гаусс в 1812 опубликовал замечательное исследование о ряде вида 11 “ I «(« + !). W +, 1+1 ух+ 1—2,(7 + 1) з:+-’ к-рый он назвал гипергеометрическим, п. ч. он обращается в геометрический ряд (геометрическую прогрессию) в частном случае при а=1 и /3=7. Этот ряд, получивший позже широкое применение как в теории функций, так и в учении о страховании жизни, Гаусс исследовал со всей математической строгостью. Его рассуждения послужили для Кеши образцом, по к-рому он в своем «Курсе алгебраического анализа» (Cours d'analyse alg6brique) в 1821 построил общую теорию рядов, содержащую, по существу, исчерпывающее решение относящихся сюда принципиальных вопросов.
Теория Б. р. Гаусса и Коши начинается точным установлением понятия о сумме ряда. Если имеем ряд чисел (1), то сумма п первых его членов Sn = + <*2 + «з • + • • • + «п есть число, зависящее от п, функция от п; если sn стремится к определенному пределу $, когда п неограниченно возрастает, то мы говорим, что ряд сходится и что $ есть с у м fa а этого ряда. Если такого предела нет, то говорят, что ряд расходится; в этом последнем случае нужно различать Б. р., в к-рых sn не 760
ограниченно возрастает, от Б. р., в к-рых sn колеблется, как, напр., в ряде (4). Только в том случае, когда Б. р. сходится, он может служить тем целям, для которых его предназначали математики 17—18 вв. Поэтому, когда то или иное математическое вычисление приводит к Б. р., то прежде всего нужно установить, сходится ли ряд или нет. В школе Эйлера единственное средство, к-рое для этого применялось, заключалось в том, что старались непосредственно дать простое выражение функции sn и столь же непосредственно установить предел, к к-рому $п стремится, когда п неограниченно возрастает. Так издавна поступали по отношению к бесконечно нисходящей геометрической прогрессии. Ряд . 1 I
1 1—2 2—3 ’’3—4 I’"”1’ (п + 1)(п + 2)*"" Эйлер представляет в виде (14) 414) 414-)+-
и т. о. обнаруживает, что для этого Б. р.
Sn = 1 — пТ2’ а следовательно sn стремится к 1, когда п неограниченно возрастает. Этот прием имеет то достоинство, что он обыкновенно не только устанавливает сходимость или расходимость ряда, но в первом случае дает также его сумму; его обыкновенно называли с у ммированием ряда. К сожалению, выполнение его осуществимо лишь в весьма немногих случаях; т. н. исчисление конечных разностей (см.) ставит себе задачей дать общие методы для такого суммирования, но они редко приводят к цели. Вследствие этого становится необходимым прежде всего установить признаки сходимости Б. р. Долгое время думали, что ряд вида (1) сходится, если апстремится к 0, когда п неограниченно возрастает. От этого заблуждения не был еще свободен даже Лагранж, хотя И. Бернулли первый обнаружил, а Лейбниц уже в 1689 опубликовал, что т. н. гармонический ряд
1+т+т+т+расходится, несмотря на то, что его члены неограниченно убывают. Коши дал первый общий признак сходимости Б. р. Он заключается в том, что для сходимости Б. р. необходимо и достаточно, чтобы сумма к его последовательных членов а п+1~ +ап+-2~ . + ап4 . зЧ~ ... Ч~а при любом к стремилась к нулю, когда группа продвигается вдоль ряда, т. — е. когда п неограниченно возрастает. Этот критерий практически редко применим, п. ч. для его непосредственного применения надо составить простое выражение для суммы к последовательных членов ряда, а это задача такой же сложности, каки выражение суммы sn.
Но критерий Коши служит основой, на к-рой строятся более целесообразные, хотя и менее универсальные критерии. Будем называть знакоположительным рядом (з. п. Б. р.) Б. р., в к-ром все члены суть положительные числа. Из критерия Коши с очевидностью вытекает такая теорема:
