БЕСКОНЕЧНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ — БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯДвозка 600—650 вагонов в час, скорость от 0, 5 до 2 м в мин. Канатная перевозка применяется при горизонтальных и слабо наклонных путях. Длина до 2.000—3.000 м, при горизонтальных путях — до 7.000 м; максимальная перевозка 400—450 вагонов в час. Скорость движения от 0, 5 до 1 ж в мин.
БЕСКОНЕЧНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, или определители бесконечного порядка, определители, к-рые образуются матрицами, содержащими неограниченное число вертикалей и горизонталей (см. Определители).
БЕСКОНЕЧНЫЙ ВИНТ, винт, сцепляющийся с зубьями на окружности колеса, подобно сцеплению рейки с шестернею; применяется, гл. обр., в тех случаях, когда от быстро вращающегося вала требуется передать другому валу плавное и медленное вращение. Ось колеса перпендикулярна к оси винта. При вращении бесконечного винта его витки толкают зубцы колеса, так что при одном обороте винта (одноходового) колесо поворачивается на один зуб; при двухили трехходовом винте колесо поворачивается соответственно на два и три зуба. Применяется это зацепление в различных приборах (научных, измерительных, оптических), а также в подъемных блоках, лебедках и машинах, где получает большие размеры и название червячной передачи (см.).
БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД, в математике — неограниченная последовательность чисел «1,
«2>
•••,
(1)
каждое из к-рых образуется по определенному закону; этим законом и первым своим членом Б. р. и определяется. Однако, в подавляющем большинстве случаев математика интересуют не отдельные члены ряда, а их сумма, точное определение к-рой установилось только приблизительно через два столетия после того, как Б. р. вошли в употребление. В связи с этим Б. р. часто и определяется, как сумма неограниченного ряда слагаемых «14 — а24 — а3+... 4 — ап + ...
(1а) Первый пример Б. р. можно найти уже у Архимеда, к-рый в сочинении «О квадратуре параболы» в своеобразной форме суммирует бесконечно нисходящую геометрическую прогрессию, первый член к-рой равен 1, а знаменатель х/4, и устанавливает, что сумма ее равна 4/3. Но наука знает очень мало идей, зародышей к-рых нельзя было бы найти в глубокой древности. В действительности Б. р. появляются в математике во второй половине 17 в. и в следующем веке получают чрезвычайно широкое распространение. Их возникновение относится, т. о., к эпохе, когда утвердилось и получило широкое распространение десятичное счисление (см. Арифметика) и вместе с тем стало ясно, что многие числа, к к-рым приводят геометри 758
ческие и механические вычисления, не могут быть выражены конечным числом десятичных знаков. Кавальери в 1643 и Валлис в 1685 показали, что даже рациональные дроби при обращении в десятичные лишь в редких случаях выражаются при помощи конечного числа десятичных знаков. Т. о., возникли бесконечные дроби, каждая из к-рых представляет собою сумму Б. р., образуемого ее нисходящими разрядами; в частности, периодические дроби (Валлис) представляют собою бесконечно нисходящие геометрические прогрессии; напр.:
Q
Q
Q
0, 333 ... = 0 + Jo 4 — jqs + j03 + ...
Эпоху составило открытие Меркатором и Браункером логарифмического ряда (1668), вслед за чем Ньютон и Лейбниц открыли большое число рядов — биномиальный, показательный, тригонометрические и др.
(см. ниже). Большое впечатление произвел ряд, открытый Лейбницем (1674), для выражения числа лг:
Т = 1—4 + Т“Т + Т_П+-’(2) хотя практически он для вычисления непригоден. Но этот ряд был вскоре заменен другими, быстрее сходящимися (Мэчин, Machin, 1706), благодаря чему получилась возможность вычислить издревле занимавшее геометров число п с очень большою точностью. Практическое значение, которое т. о. получили Б. р-ы в 18 в., сосредоточило на них внимание. Эйлер, к-рый первый превратил разнообразный материал, добытый Лейбницем, Ньютоном и их последователями (в том числе и самим Эйлером), в цельную и систематическую науку, в трех своих сочинениях, этому посвященных [Introductio in analysin infinitorum (1748). Institutiones calculi differentialis (1755), Institutiones calculi integralis (1768)], вводит и разбирает множество бесконечных рядов и завершает первую эпоху в истории их развития. Характерными для этой эпохи являются следующие черты. Ряды получаются совершенно формально по определенному правилу. Разложение обыкновенной дроби в десятичную представляет простейший пример такого правила. Двучлен (1+ж)*1 разлагается при целом положительном п в конечный ряд по степеням х\ установив правило, по к-рому в этом разложении каждый член получается из предыдущего, Ньютон применяет то же правило в случае дробного и отрицательного показателя, и получает правило для разложения бинома в Б. р. Очень распространенный в 18 в. метод неопределенных коэффициентов служит орудием, к-рым и до Эйлера и'Эйлер очень широко пользуются. Так, в применении к делению многочленов этот метод дает частное, когда деление совершается нацело; если это не имеет места, тот же прием дает Б. р. При помощи метода неопределенных коэффициентов были впервые найдены ряды Маклорена и Тэйлора. Получив, т. о., Б. р. чисто формально, т. — е. без оценки тогб значения, к-рое он действительно имеет, Эйлер рассматривает его, как обыкновенную сумму, только содержащую бесчисленное множество ела-
