ы = КАВ, под к-рым к оси абсцисс наклонена касательная ЛК, именно tg^=v. Случай пропорционального наращения ординаты и абсциссы имеет место, когда кривая представляет собою прямую линию: прямая во всех своих точках одинаково наклонена к оси абсцисс, т. — е. v имеет постоянное значение; но на кривой линии наклонение это меняется от точки к точке, и коэффициент пропорциональности, вместо постоянного становится переменным: указанный прием устанавливает в каждой точке кривой свой «дифференциальный коэффициент».
Общей задачей о проведении касательной к кривой в этом порядке идей уже в середине 17 в. занимались Декарт, Ферма, Роберваль и др. «Будет совершенно справедливо сказать, — пишет по этому поводу Софус Ли, — что понятия дифференциальный коэффициент и интеграл, возникновение к-рых несомненно восходит еще к Архимеду, были введены исследованиями Кеплера, Декарта, Кавальери и Валлиса».
«Поворотным пунктом в математике, — говорит Энгельс, — была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, зачатки к-рого были вскоре заложены, и к-рое в целом было завершено, а не открыто Ньютоном и Лейбницем».
Однако, и этим — Лейбницу и Ньютону, конечно, приписано слишком много.
Ко второй половине 17 в. по запросам самых различных дисциплин скопилось уже много задач, решение к-рых требовало широкого применения Б. — м-ых. Выявление общих идей, к-рые были заложены в методы решения таких задач, указанные еще эллинскими геометрами и видоизмененные Кеплером, Кавальери и др., действительно составило заслугу Лейбница и Ньютона: они формулировали две основные задачи — нахождение предельного значения отношения Б. — м-ых и суммирование Б. — м-ых, указали тесную связь, существующую между ними, и вместо случайных приемов, к-рые их предшественники применяли для решения отдельных задач, выработали первые общие правила. Точкой отправления для Лейбница служила задача о проведении касательной к кривой, а для Ньютона — квадратура плоской кривой (определение ограничиваемой ею площади). Общая задача, соответственно этому, сводилась к тому, чтобы дать правило решения каждой из этих задач по заданному уравнению кривой y — f (ж). Естественно, что это требовало изучения самой функции /(ж). Справившись с простейшим случаем целой алгебраической функции, т. — е. с тем случаем, когда /(ж) = а0 4 — а^х + а2ж2 + . . . + апхп9 было естественно стремиться пригнать к этому виду и более сложные функции. Это в широких размерах удалось выполнить, но только не конечным, а Б. — б-им числом членов в правой части, т. — е. путем разложения функции в бесконечные ряды (см.).
Это разложение, как легко понять, представляет собою не что иное, как то же исчерпывание значения функции неограни 736
ченным (Б. — б-им) числом неограниченно убывающих (Б. — м-ых) членов. То, что в геометрической задаче о вычислении площади круга достигается присоединением к каждому вписанному многоугольнику треугольничков, удваивающих число его сторон, здесь в арифметической форме достигается присоединением новых, в конечном счете всегда убывающих членов ряда. Задача о разложении функций в бесконечные ряды в такой мере срослась с остальными приемами, требовавшими применения Б. — м-ых, что Ньютон назвал первое свое сочинение, им не опубликованное, но содержавшее изложение нового исчисления — «Методом флюксий (см. ниже) и бесконечных рядов» («Methodus fluxionum et serierum infinitarum»).
В дальнейшем братья Бернулли, Тэйлор, Маклорен, Стирлинг, Ролль и многочисленные выдающиеся математики второго ранга развернули эти методы в обширную дисциплину, составляющую основу всего современного высшего математического анализа, т. н. исчисление бесконечно-малых (см.); гениальный Эйлер дал исчислению Б. — м. первое завершение.
По своим воззрениям на сущность Б. — б-их и Б. — м-ых, Ньютон стоял твердо на той точке зрения, к-рую мы теперь называем потенциальной, или динамической, и к-рая всегда своей основой имеет неограниченный диалектический процесс. Чтобы резко подчеркнуть, что мы имеем здесь дело с переменными величинами, наращения к-рых от определенного значения неограниченно убывают, он назвал эти величины флюэ нт а м и (текущими), а скорости их изменения, определение к-рых составляет первую основную задачу исчисления Б. — м-ых, он называет флюксиями. Лейбниц — ярко выраженный ипфинитист; в его глазах Б. — м-ые суть величины особой природы, подобно неделимым Кавальери. И, подобно Кавальери, Лейбниц, вследствие шаткости этой точки зрения, естественно, впадает в противоречия. Но противоречиями были чреваты и исследования Ньютона, потому что и его точку зрения правильно провести было чрезвычайно трудно. Номере же того, как увеличивалось число математиков, работавших в области исчисления Б. — м-ых, как их окрыляли счастливые достижения, как смелее становилось их дерзание, — развертывались и противоречия, к-рые нес в себе их метод. Эти противоречия были чрезвычайно многообразны; но если отбросить то, что представило собою результат элементарной непродуманности (это встречалось часто у второстепенных работников), если, напротив, тщательно продумать сущность их, то обнаруживается, что все они имели один источник: это — то упрощение, к-рому Б. — м-ые подвергались путем отбрасывания их составных частей.
Если U было такой («очищенной») Б. — м-ой, к-рая получалась путем отбрасывания Б. — м-ой и — как мы теперь говорим, более высокого порядка, — то сущность упрощения заключалась в том, что Б. — м-ая U-\-u заменялась через U, — вместо U+u всюду проставлялось U, или наоборот. Этому давали
