считаем энергию распределенной равномерно. Погрешность, к-рую мы при этом делаем, есть та Б. — м-ая другого порядка, количественное отличие которой от всей энергии элемента настолько незначительно, что ею уже можно пренебречь; она сводится на-нет процессом исчерпывания.
Точка движется по траектории. Если описываемый ею путь s на любой части траектории пропорционален времени t, в течение к-рого этот путь пройден, то движение назы — вается равномерным; отношение — в этом случае есть постоянная величина — скорость движения. Если же точка движется неравномерно, то о скорости движения в целом говорить невозможно. В этом случае мы делим траекторию на весьма малые части — элементы пути; отношение элемента пути к элементу времени, в течение к-рого он пробегается, представляет собою среднюю скорость движения за этот весьма малый промежуток времени. Если будем неограниченно уменьшать этот промежуток, начинающийся в момент Т, то отношение будет приближаться к числу, характеризующему скорость движения в момент Т. Таким же образом определяется для каждого момента скорость любого физического процесса, не протекающего равномерно: скорость теплового или электромагнитного излучения и т. д. Через все случаи, здесь рассмотренные, как легко видеть, проходит единая идея. Во всех этих случаях мы имеем две переменные величины у и х, связанные друг с другом функциональной зависимостью: масса тела (у) зависит от его объема (х); от объема (я) зависит также количество содержащейся в нем энергии — тепловой, электромагнитной и т. п. Пройденный путь, количество истекшей жидкости, излученной энергии и т. п. есть функция (у) от длительности («) того промежутка времени, в течение к-рого этот процесс совершился. С увеличением объема х на нек-рую величину Ах увеличивается масса, изменяется количество содержащейся в нем энергии на нек-рую величину А у; с увеличением промежутка времени на нек-рую величину J t нарастает и пройденный путь, количество истекшей энергии и т. д. Наиболее простой случай этой функциональной зависимости имеет место, когда функция у нарастает равномерно, т. — е. пропорционально нарастанию независимой переменной х. В этом случае Ау отношение есть постоянная величина, ZJ х характеризующая скорость процесса. Решение вопросов, относящихся к пропорциональной зависимости, производится элементарными арифметическими средствами.
Т. н. «тройные правила», к-рых в ср. вв. создали очень много, были предназначены для решения относящихся сюда вопросов в различных частных случаях. Но, когда вместо пропорциональности появляется зависимость более сложная, эти элементарные средства отказываются служить. И тогда мы вынуждены прибегнуть к более сложному приему: мы разбиваем независимую переменную на небольшие интервалы Ахи изучаем изменение функции А у в каждом из этих интервалов. Этот диалектический процесс мы направляем таким образом, чтобы интервалы неограниченно убывали (становились Б. — м-ыми), а число их неограниченно возрастало (становилось Б. — б-им). В пределах Б. — м-ых интервалов процесс рассматривается, как равномерный, и для каждого значения х отношеАу ние приближается к нек-рому значению v, характеризующему скорость изменения функции у при этом значении х. Если это значение v нам известно для всех значений х, то для Б. — м-ого интервала z/ х мы принимаем J y — v А х (как будто v на этом интервале не меняется). Погрешность представляет собою Б. — м-ую высшего порядка; отбрасывание ее и представляет собою то упрощение, к-рое приносит собою метод исчерпывания и законность к-рого была выяснена на предыдущих примерах. В примере, к-рым занимался Архимед (рис. 2), А у есть наращение площади параболы, собственно выражаемое Б. — м-ым трапецоидом; но мы можем заменить его прямоугольником с площадью, равной v А х, где v есть высота прямоугольника (ордината кривой). Во всех случаях наращение, получаемое функцией у при конечном наращении независимой переменной//®, получается путем суммирования наращений А у=v Ах, соответствующих элементарным интервалам, на которые мы разложили весь исследуемый интервал.
Хронологически задача о разыскании Ау предельного значения отношения — f- возникла не на приведенных выше механических и физических примерах, а на классической задаче о прок ведении касательной к кривой; об этой задаче нельзя не упомянуть. Она возникла на первых же порах развертываваналитичешейся ской геометрии (см.) и заключалась в воЬх просе о том, как направлена касательная А К к точке А кривой, заданной своим уравнением.
Возьмем на кривой (рис. 6) точку А', о близкую к А, что соответствует наРис. 6. ращению абсциссы Ах=СС' и наращению ординаты Ау=ВА'.
Секущая АА' наклонена к оси абсцисс под углом А'АВ=<я), к-рый определяется из прямоугольного треугольника АВА' соАу отношением tgw==-^. Теперь будем неограниченно уменьшать наращение абсциссы Ах; с этим для непрерывной кривой будет а связано уменьшение Ау, а отношение Ау при этом будет приближаться к предельному значению v, определяющему угол
