дил остаток на — нет. Полное понимание этой задачи мы встречаем впервые (1665) у английского математика Дж. Валлиса. В сочинении «Arithmetica infinitorum», он так и формулирует свою задачу — дать арифметическое выражение тех идей, к-рые древние передали в геометрической форме, — в частности, тех, к-рые изложены в X книге Евклидовых «Начал» (посвященной учению об иррациональных величинах). Особенно многообразно подходили как Валлис, так и после него к исчерпывающему вычислению числа гг. Т. о., тот самый диалектический процесс исчерпывания конечной величины при помощи Б. — б-го числа Б. — м-ых элементов, к-рый древние открыли и мастерски разработали в применении к геометрическим величинам, был в ср. века развернут в чисто арифметической форме; если он и не получил еще в ту пору полного теоретического обоснования, то, во всяком случае, на практике он был уже доведен до значительного совершенства. И при всем том, хотя со времени зарождения идеи о Б. — б-ом и Б. — м-ом в школе Пифагора прошло около 2.500 лет, широкое применение их еще только начиналось.
В 1612 в Австрии был необыкновенный урожай винограда, и вверх по Дунаю в громадном числе развозились бочки молодого вина. Кеплер, знаменитый ученик, последователь и продолжатель Коперника, в ту пору систематически гонимый, поселился в том же году в г. Линце на Дунае.
Он приобрел несколько боченков вина и при расплате был поражен той примитивностью, с к-рой определялась емкость бочек. В связи с этим он поставил себе задачей найти способы вычисления емкости бочек. Само собой разумеется, что поставить задачу в таком общем виде в связи с этим поводом Кеплер имел возможность только благодаря тому, что был к этому подготовлен целым рядом по существу аналогичных задач, к которым его привели астрономические работы. Размышления, вызванные в процессе объединения этих разнородных задач, привели к сочинению, выпущенному им через 3 года — «Stereometria doliorum» (1615).
Хотя по заглавию это сочинение имело предметом измерение бочек, оно в действительности занималось гораздо более широкой задачей — определением объемов тел вращения; попутно решается ряд дополнительных задач. По методу Кеплер примыкает вполне к Архимеду: первая часть книги даже называется «Stereometria Archimedea» («Архимедова стереометрия»), а вторая — «Suppiementum ad Archimedem» («Дополнение к Архимеду»); Кеплер определяет здесь объемы 92 тел вращения. Характерным для Кеплера является большая смелость, большая решительность в деле упрощения Б. — м-ых элементов, на к-рые он разлагает определяемую величину; вычисления становятся несравненно проще, — но зато они теряют свою четкость и иногда приводят к ошибкам. Так, определение площади круга Кеплер основывает на следующем рассуждении, к-рое мы и в наст, время находим в учебниках геометрии, требующих по своему назначению наибольшегоупрощения. Круг разбиваем на секторы с общей вершиной в центре (рис. 3); чем меньше мы возьмем каждый сектор, тем ближе он подходит к треугольнику, основанием которого можно считать дугу сектора; его площадь, следовательно, равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса; суммируя эти площади, мы находим, что площадь круга равна длине его окружности, умноженной на половину радиуса. С такой же простотой Кеплер вычисляет объем шара и других тел вращения; но эта простота порождает сомнения, которых он не скрывает, и иногда приводит его к ошибкам, которых Архимед никогда не делал. Чтобы заглушить эти сомнения, Кеплер подтверждает свое рассуждение относительно площади круга такого рода соображениями: составляющие секторы можно сделать настолько малыми, что их основаниями становятся точки, и число секторов тогда становится бесконечным; каждый из этих Б. — м-ых секторов уже вовсе не отличается от такого же треугольника. Ничего, конечно, это рассуждение не спасает, потому что со сведением основания к точке исчезает сектор, и треугольник обращается просто в один радиус. Но существенная особенность его заключается в том, что Кеплер более или менее сознательно склоняется уже не к потенциальной бесконечности, а к статическому разложению круга на Б. — б-ое число актуально Б. — м-ых сектороврадиусов. В этом виде неограниченно продолжающийся процесс уже исчезает; рассуждение, правда, сделалось проще, но утратило свою убедительность. Было бы неправильно сказать, что Кеплер твердо стоял на этой точке зрения актуальной бесконечности; он слишком находится еще под влиянием Архимеда, его позиция просто не тверда, его воззрения в этой области эклектичны. Они представляют собою переходную ступень к взглядам Кавальери, твердо ставшему уже на иную точку зрения.
В 1635 Кавальери опубликовал трактат «Geometria indivisilibus continuorum nova quadam ratione promota» («Геометрия непрерывного, развитая новым способом при помощи неделимых»). Задача сочинения та же, к-рую ставил себе Архимед — вычисление длин, площадей и объемов при произвольной форме соответствующих образов.
С этой целью Кавальери рассматривает линию как совокупность бесконечного числа точек, плоскую фигуру — как совокупность параллельных прямолинейных отрезков от одной крайней касательной до другой (рис. 4), тело — как совокупность его параллельных плоских сечений. Эти точки, отрезки, плоские сечения и суть те неделимые, к-рые заменяют Б. — м-ые линии, площади, объемы метода исчерпывания.
Правда, и у Кавальери есть процесс дви-
