следствием способности наблюдать явления и производить сопоставления между различными фактами, отвлекаясь от их конкретного содержания; несмотря на это, однако, развитие понятия о числе проделало весьма длительный и трудный путь, несомненно тесно связанный с материальным прогрессом человечества и овладением силами природы; и по сие время первобытные племена едва умеют считать в пределах первого десятка и не имеют никакого представления о больших числах, затрудняясь даже в со считывании числа членов своих семейств. Весьма важное значение имеет здесь процесс группирования, посредством к-рого можно переходить от меньших к большим числам и получать представления о сравнительной величине чисел, перейдя, напр., от пяти пальцев на каждой руке к десяти — на обеих, к двадцати на обеих руках и ногах и т. д.
Следы такого процесса сохранились у многих народов в самых названиях чисел или в форме их изображения. В дальнейшем своем развитии этот же процесс группирования дает и нам возможность ориентироваться в громадных числах, примеры к-рых дает современная астрономия и атомистическая теория материи, — числах, о к-рых мы не имеем никакого непосредственного представления.
Египтяне, несомненно, обладали многими познаниями по А. и геометрии уже в древнейшие времена, о чем свидетельствует высокое состояние у них техники, и без чего была бы невозможна постройка громадных пирамид, относящихся к 30 в. до хр. э. Но древнейшие письменные памятники, дошедшие до нас, относятся к 17—18 в. до хр. э. Вторым по древности является папирус коллекции Голенищева (Московский музей изящных искусств), содержащий 19 задач из различных отделов математики с несколькими чертежами; из него видно, что уже в то время египтяне знали действия с дробями и извлечение квадратных корней. Наиболее крупный математический памятник Египта — папирус Ринда (Британский музей), переписанный жрецом Ахмесом с более древних рукописей (быть может, 27 в. до хр. э.). Однако, и в этом папирусе нет никаких общих правил или теорем, а приводятся отдельные задачи с их решениями. Изучение всех этих источников, содержание задач, в них разрешаемых, совершенно отчетливо свидетельствуют о том, что начала А. возникли на чисто практической почве, — из количественных соображений, ставших необходимыми в повседневной жизни уже на самой заре культуры; с появлением торговли эти количественные соображения усложняются и требуют более тщательных и значительных вычислений, а с развитием земледелия и техники, в связи с выдвигаемыми ими новыми задачами, — как землемерные работы, исчисление своего посева, постройка жилища, дороги, а затем и моста и более сложных сооружений, — они вызывают необходимость все более глубокой вдумчивости, наблюдения и даже исследования. Самое изобретение А. египтяне приписывали богу торговли Тоту. Но производство сколько-нибудь значительных арифметических вычислений далось с большим трудом. Простейшие действия над це 340
лыми числами выполнялись египтянами при помощи счетной доски — абака (см); вообще же, вычисления были необыкновенно громоздкими, особенно действия с дробями, к-рые они старались представить в виде сумм дробей с числителями, равными еди/ 2 1 . 1, 1, 1 \ нице ^напр., - = - + - + + — ).
То обстоятельство, что последующее тысячелетие не внесло особых изменений в круг знаний, содержащихся в папирусе Ринда, с одной стороны, подтверждает чисто служебную роль, которую А. и геометрия играли в практической жизни египтян, так как сведения, изложенные в папирусе, были достаточны для их торговых сношений с окружающими народами и для выполнения их технических сооружений; с другой стороны, оно же показывает, как трудно далось искусство более или менее совершенного счета.
Примерно на том же уровне стояла А. и у вавилонян; последние пользовались, кроме десятичной системы счисления, также и шестидесятиричной, в к-рой основной единицей является число 60, подобно тому, как десятичная система основана на числе 10.
В особенности шестидесятиричная система употреблялась при построении системы мер и весов, при крупных вычислениях, напр., при вычислениях для астрономических целей, к-рые у вавилонян получили значительное развитие, и при действиях с дробями (в Вавилоне пользовались только дробями со знаменателем 60). Древнейшие численные таблички вавилонян, дошедшие до нас и относящиеся к 24 в. до хр. э., содержали таблицы квадратов и кубов.
Греки, многому научившиеся у египтян, были несравненно лучшими теоретиками и поставили А. на высоту науки. Они резко разграничивали А. теоретическую, к-рую они, собственно, и называли А., понимая ее как науку, изучающую самое понятие о числе и его свойствах, — от практической А., искусства производить вычисления, к-рую они называли логистикой. В своих исследованиях греки затрагивали основные проблемы современных дисциплин: теоретической А., теории чисел и алгебры; но, будучи по преимуществу геометрами, они теснейшим образом связывали арифметические понятия с геометрическими. Исключение составляют разве пифагорейцы (6—5 вв. до хр. э.), к-рые интересовались числами скорее с мистической точки зрения; но наши сведения о них не отличаются ни определенностью, ни полнотою. Эти два направления А., теоретическое и практическое, в процессе ее развития тесно между собою связываются. Все учение о дробях было позже основано на теории делимости, составляющей главную часть теоретических исследований Евклида по А.; а эти исследования, в свою очередь, возникли из практической задачи количественного сравнения прямолинейных отрезков.
Наибольшее значение для развития А. имели «Начала» Евклида (3 в. до хр. э.). Книги 7—9 «Начал» посвящены непосредственно изучению чисел, к-рые Евклид изображает
