греческих сочинений впервые встречается у Аристотеля. В ср. века, в период господства Аристотелевой философии, это понятие получило распространение в области науки, а отсюда проникло в обыденную жизнь в применении ко всякому утверждению, совершенно очевидному, не нуждающемуся в доказательствах. По замыслу, к-рый Аристотель уже, повидимому, заимствовал от своих предшественников, всякая точная наука должна была строиться в порядке аксиоматизации, т. — е. систематическое изложение каждой точной науки (предполагалось, что со временем все науки станут точными) должно было начинаться совокупностью А., из к-рых весь материал этой науки строго логически выводится путем умозаключений, уже без пособия каких бы то ни было наглядных представлений. Эта схема в б. или м. совершенной форме была прежде всего применена к наукам математическим, а из них к геометрии, к-рая в древней Греции получила наиболее широкое развитие. «Начала» Евклида представляют собой первое дошедшее до нас сочинение, в к-ром этот замысел выполнен.
Это обширное сочинение начинается рядом основных положений, к-рые, однако, делятся на две категории: «общие положения» (koinai ennoiai), к-рые последователи и комментаторы Евклида обыкновенно называли А., и «требования» (aitemata), позже называвшиеся латинским словом того же значения — постулатами. В Греции не только распространение научных идей, но и обучение взрослых часто осуществлялось путем диалога или диспута. Постулаты, повидимому, были теми положениями, признания к-рых ведущий диалог требовал от собеседника или противника, дабы последний вынужден был признать и все дальнейшие выводы. Постулаты Евклида представляют собой положения чисто геометрические (напр., «через каждые две точки можно провести прямую линию», «каждую прямую можно неограниченно продолжать в обе стороны»); А. нее, по большей части, представляют собою положения более общие, относящиеся не только к геометрическим, но и ко всяким другим величинам (напр., «две величины, порознь равные третьей, равны между собой»). Т. к., однако, различные переписчики перетасовывали А. и постулаты, то в наст, время нет возможности с точностью установить, как понимал Евклид различие между этими двумя категориями основных положений. Впоследствии от этого деления вовсе отказались, и в паст, время оба термина употребляются в одном и том же значении. — Внимательное исследование аксиоматики Евклида обнаруживает, что при всем ее относительном совершенстве она не удовлетворяет поставленной цели: Формулированных Евклидом А. (включая и постулаты) недостаточно для строго логического обоснования геометрии; Евклид почти в каждом рассуждении неявно (т. — е. не оговаривая этого) пользуется интуицией, т. — е. оперирует соображениями, основанными па наглядных представлениях, а не на установленных А. Ученики, последователи и комментаторы Евклида на протяжении свы 36
ше двух тысячелетий устанавливали слабые стороны его рассуждений и пытались дополнить, усовершенствовать аксиоматику Евклида (Герои, Гемин, Прокл, Папп, Анариций, Нассир-Эддин, Адельгарт ф. Бать, Боэций и даже Лежандр). Относящаяся сюда литература в общем отличается чрезвычайной схоластичностью и бессодержательностью; но в ней были и очень серьезные сочинения, осветившие недостатки Евклидовой аксиоматики и пролившие нек-рый свет на те пути, к-рые могут привести к их исправлению. Эти пути шли через критику не только аксиоматики, но и самой Евклидовой геометрии по существу, вернее ее логической необходимости, и привели к созданию различных геометрических систем, по существу отличающихся от Евклидовой (Гаусс, Лобачевский, Больяй, Риман, Кэли, Клейн, Клиффорд и др.; см. Основания геометрии). Только путем сличения этих геометрических систем, т. — е. путем установления положений, отличающих одну из этих систем от другой, в конце 19 в. удалось установить систему А., из к-рых действительно возможно строго логически вывести Евклидову геометрию (Пеано, Фано, Пьери, Гильберт; см. Геометрия).
Возникновение новых геометрических систем, первоначально казавшихся абсурдными, противоречивыми, привело к необходимости доказать, что в системе А., положенных в основу какой-либо дисциплины, нет противоречия. Это достигается тем, что обнаруживается существование объектов, по отношению к к-рым эти А. все явно справедливы. С другой стороны, естественно требовать, чтобы система не содержала лишних А., т. — е. таких, к-рые можно вывести из остальных, — иными словами, к-рые представляют собой такое же следствие остальных А., как и теоремы, из них выводимые. Чтобы доказать, что какая-либо А. в этом смысле не зависит от остальных, нужно обнаружить существование других объектов, к-рые обладают свойствами, требуемыми остальными А., но не обладают теми свойствами, к-рых требует эта А.; таких объектов, конечно, не могло бы быть, если бы эта А. представляла собою следствие остальных. Материал для подыскания такого рода объектов при построении системы геометрических А. дают арифметика и алгебра, благодаря той тесной связи, к-рая объединяет эти науки с геометрией. Вся аналитическая геометрия (см.), в сущности, представляет собою построение такого рода объектов при помощи арифметического материала. Это естественно привело и к задаче обоснования самой арифметики. К этому привели и другие более насущные задачи: необычайная быстрота, с к-рой с конца 17 в. развертывалась высшая математика, привела к наличности во многих ее частях чисто фактических дефектов, коренившихся в недостаточной обоснованности начал арифметики и алгебры; восполнение этих дефектов требовало аксиоматики арифметики.
Первые научные шаги в этом отношении были сделаны Германом Грасманом в 18G1.
Его основная идея заключалась в том, что А. арифметики, по существу, не отличаются
