12°. Въ стереометріи, въ главѣ «Перпендикуляръ и наклонныя», ради большей систематичности, мы помѣстили теперь и ту теорему (изъ точки, взятой внѣ плоскости, можно опустить на эту плоскость перпендикуляръ), которая въ предыдущихъ изданіяхъ отрывалась отъ родственной ей теоремы (изъ точки, взятой на плоскости, можно возставить къ этой плоскости перпендикуляръ), и доказывалась позже, въ концѣ главы о параллельныхъ прямыхъ.
13°. Извѣстное предложеніе о трехъ перпендикулярахъ, которое прежде излагалось нами, какъ лемма (§ 321 прежнихъ изданій), теперь поставлено въ видѣ самостоятельной теоремы въ концѣ главы о перпендикулярѣ и наклонныхъ (§ 359).
14°. Изложеніе главы «Объемъ призмы и пирамиды» измѣнено теперь въ соотвѣтствіи съ измѣненіемъ главы о площадяхъ; такъ, объемъ прямоугольнаго параллелепипеда находится непосредственно, а не на основаніи двухъ леммъ объ отношеніи объемовъ, какъ это дѣлалось прежде.
Мы перечислили только главнѣйшія измѣненія, сдѣланныя въ 21-мъ изданіи. Есть много другихъ болѣе мелкихъ отличій, введенныхъ главнымъ образомъ съ цѣлью достигнуть большей ясности изложенія или большей точности въ формулировкѣ опредѣленій и теоремъ.
Кромѣ того, частью съ цѣлью выполнить всѣ требованія офиціальнымъ программъ, а главнымъ образомъ съ цѣлью удовлетворить любознательность учениковъ, мы ввели и нѣкоторые новые параграфы и даже цѣлыя главы; напр., о симметріи фигуръ (§§ 33, 102, 109, 264), о постулатѣ параллельныхъ линій (§§ 91—95), о признакахъ, необходимыхъ и достаточныхъ (§ 187), о фигурахъ, подобно расположенныхъ (гомотетія §§ 211—218), объ однородности уравненій, получаемыхъ при рѣшеніи геометрическихъ задачъ (§ 342), о построеніи корней квадратнаго уравненія (§ 343), опредѣленіе проэкціи прямой на плоскость (§ 394) и нѣкоторые другіе.
