Пусть ABCD (черт. 51) есть выпуклый многоугольникъ, а LMNPQR какой-нибудь другой многоугольникъ (выпуклый или невыпуклый), внутри котораго заключенъ первый. Требуется доказать, что AB + BC + CD + DA меньше LM + MN + NP + PQ + QR + RL.
Продолживъ въ обоихъ направленіяхъ одну какую-нибудь сторону AD выпуклаго мн-ка, примѣнимъ къ ломанымъ линіямъ ABCD и ATMNPQRSD, проведеннымъ между точками A и D, теорему предыдущаго параграфа:
AB + BC + CD < AT + TM + MN + NP + PQ + QR + RS + SD.
Оъ другой стороны, такъ какъ отрѣзокъ ST короче ломаной SLT, то можемъ написать:
AT + AD + DS < TL + LS.
Сложимъ почленно эти два неравенства и отнимемъ отъ обѣихъ частей вспомогательные отрѣзки AT и DS, затѣмъ замѣнимъ сумму TL+TM черезъ LM и сумму LS+RS черезъ LR; тогда получимъ то, что требовалось доказать.
57. Замѣчаніе. Двѣ предъидущія теоремы перестаютъ быть вѣрными, если объемлемая ломаная или объемлемый многоугольникъ невыпуклые. Такъ, на черт. 52-мъ объемлемая ломаная, проведенная между точками A и B, можетъ
оказаться длиннѣе объемлющей, проведенной между тѣми же точками.
Черт. 52.
