изъ B радіусомъ, равнымъ s. Отбросивъ первое условіе, мы получимъ также безчисленное множество точекъ M лежащихъ на дугѣ сегмента, построеннаго на BC и вмѣщающаго уголъ, равный 1/2 A. Такимъ образомъ, нахожденіе точки M сводится къ построенію двухъ геометричскихъ мѣстъ, изъ которыхъ каждое мы построить умѣемъ. Задача окажется невозможною, если эти геометрическія мѣста не будутъ имѣть общихъ точекъ; задача будетъ имѣть одно или два рѣшенія, смотря по тому, касаются ли, или же пересѣкаются эти мѣста (на нашемъ чертежѣ дуга сегмента пересѣкается съ окружностью; вслѣдствіе этого получаются два тр-ка и , удовлетворяющіе условіямъ задачи).
Иногда задача сводится не къ опредѣленію точки, а къ нахожденію прямой, удовлетворяюціей нѣсколькимъ условіямъ. Если отбросимъ одно изъ нихъ, то получимъ безчисленное множество прямыхъ; при этомъ можетъ случиться, что эти прямыя опредѣляютъ нѣкоторую линію (напр., всѣ онѣ будутъ касательными къ нѣкоторой окружности). Отбросивъ другое условіе и принявъ во вниманиіе то, которое было откинуто ранѣе, мы получимъ снова безчисленное множество прямыхъ, которыя, быть-можетъ, опредѣлятъ нѣкоторую другую линію. Построивъ, если возможно, эти двѣ линіи, мы затѣмъ легко найдемъ и искомую прямую. Пусть, напр., намъ предложена задача: провести сѣкущую къ двумъ даннымъ окружностямъ O и O1 такъ, чтобы части сѣкущей, заключенныя внутри окружностей, равнялись соотвѣтственно даннымъ длинамъ а и а_1. Если возьмемъ только одно условіе, напр., чтобы часть сѣкуціей, лежаціая внутри круга O, равнялась а, то получимъ безчисленное множество сѣкущихъ, которыя всѣ должны быть одинаково удалены отъ центра этого круга (такъ какъ равныя хорды одинаково удалены отъ центра). Поэтому, если въ кругѣ O гдѣ-нибудь построимъ хорду, равную а, и затѣмъ радіусомъ, равнымъ разстоянію этой хорды отъ центра, опишемъ окружность, концентрическую съ Oi то всѣ сѣкущія, о которыхъ идетъ рѣчь, должны касаться этой вспомогательной окружности; подобнымъ образомъ, принявъ во вниманіе только второе условіе, мы увидимъ, что искомая сѣкуціая должна касаться второй вспомогательной окружности, концентрической съ O1. Значитъ, вопросъ приводится къ построенію общіей касательной къ двумъ окружностямъ.
Кромѣ тѣхъ геометрическцхъ мѣстъ, которыя указаны въ текстѣ (этой книги (§§ 67, 112, 177, 228), полезно замѣтить еще слѣдуюціія доказательство предоставляемъ самимъ учащимся):
1°. Геометрическое мѣсто точекъ, дѣлящихъ въ данномъ отношеній отрѣзки параллельныхъ прямыхъ, заключенные между сторонами даннаго угла, есть прямая, проходящая черезъ вершину угла и какую- нибудь одну изъ этихъ точекъ.
2°. Геомегрическое мѣсто точекъ, которыхъ разстоянія отъ сторонъ даннаго угла находятся въ данномъ отнощеніи, состоитъ изъ двухъ
