зимъ, что △ ABD повернутъ вокругъ стороны BD, какъ около оси, такъ, чтобы онъ упалъ на △ BDC. Тогда, вслѣдствіе равенства угловъ 1 и 2, сторона AB упадетъ на BC, а вслѣдствіе равенства этихъ сторонъ точка A совпадетъ съ С. Поэтому DA совмѣстится съ DC и уголъ 4 съ угломъ 3; значитъ, DA=DC и ∟ 4=∟ 3. Изъ того, что DA=DC, слѣдуетъ, что BD есть медіана; изъ того, что углы 3 и 4 равны, выходитъ, что эти углы прямые, и слѣд., BD есть высота тр-ка ABC.
39. Слѣдетвіе 1-е. Такъ какъ, по доказанному, биссектрисса BD представляетъ собою и медіану, и высоту, то можно сказать, что она есть также
и перпендикуляръ къ основанію AC, возстановленный изъ его середины D.
Черт. 35.
Такимъ образомъ, въ равнобедренномъ тр-кѣ ABC (черт. 35) одна и та же прямая BD служитъ одновременно: 1) биссектриссою угла при вершинѣ, 2) медіаною, проведенною къ основанію, 3) высотою, опущенною на основаніе, и, наконецъ, 4) перпендикуляромъ къ основанію, возстановленнымъ изъ его середины. Такъ какъ каждое изъ этихъ 4-хъ свойствъ вполнѣ опредѣляетъ положеніе прямой BD, то существованіе одного изъ нихъ влечетъ за собой всѣ остальныя. Hanp., высота равнобедреннаго треугольника, служитъ одновременно биссектриссою, медіаною и перпендикуляромъ къ основанію въ его серединѣ. Дѣйствительно, во-1-хъ, эта высота должна служить биссектриссою, потому что въ противномъ случаѣ, провёдя такую биссектриссу, мы имѣли бы двѣ различныя высоты на одну и ту же сторону тр-ка, что невозможно. Во-2-хъ, эта высота, будучи биссектриссою, должна быть, по доказанному, медіаной и, слѣд., перпендикуляромъ къ основанію въ его серединѣ.
40. Слѣдствіе 2-е. Изъ того, что тр-ки ABD и BDC (черт. 35) совмѣщаются всѣми своими частями, слѣдуетъ, что ∟ A=∟ C, т-е.
въ равнобедренномъ треугольникѣ углы при основаніи равны.
