Замѣчаніе. Теорема и ея доказательство не зависятъ отъ того, будетъ ли одинъ изъ радіусовъ кругового сектора совпадать съ осью вращенія или нѣтъ.
498. Теорема. Объемъ шара равняется произведенію его поверхности на треть радіуса. A Разбивъ полукругъ ABCD (черт. 441), //T- -R -Lx g производящій шаръ, на какіе-нибудь кру- — і -—у говые секторы AOB, BOC, COD, мы замѣ- / тимъ, что объемъ шара можно разсматри- ( CY'ѵ I вать, какъ сумму объемовъ шаровыхъ “р ~ секторовъ, производимыхъ вращеніемъ этихъ круговыхъ. Такъ какъ, согласно +— ! _—^ предыдущей теоремѣ: D объемъ A OB=(пов. ABYI3B,, Черт. 44і. обьемъ ВОС=(пов. B(J)1I3R, объемъ COD=(пов. CDYj3R, то объемъ шара=(пов. АВ+пов. BC +пов. CDYI3R= =(пов. ABCDYI3R.
489. Слѣдетвіе 1-e. Обозначимъ высоту шарового пояса или сегментной поверхности черезъ Н, радіусъ шара черезъ R, а діаметръ черезъ D; тогда поверхность пояса или сегментной поверхности вырагится, какъ мы видѣли (491), формулой 2тсВЯ, а поверхность шара (493) формулой AkR2; поэтому: об. шарового сектора=2тсВЯ . 1I3R=2I3KR2H; об. шара=4тсВ2. 1I3R=iI3KR3=iI3K^ I ^j3=1I3KD3. Отсіода видно, что объемы шаровъ относятся, какъ кубы ихъ радіусовъ или діаметровъ.
Слѣдствіе 2-е. Поверхность и объемъ шара составляютъ 2/3 соотвѣтственно поверхности и объема цилиндра, описаннаго около шара.
Дѣйствительно, у цилиндра, опххсаннаго около шара, радіусъ осііованія равенъ радіусу шара, а высота равна діаметру шара; поэтому для такого цилиндра: полная поверхность=2тсВ . 2В+2тсВ2=6тсВ2; объемъ =тсВ22В=2тсй3.
