Возьмемъ въ одномъ изъ данныхъ подобныхъ многогранниковъ вершину A какого-нибудь многограннаго угла.
Возьмемъ далѣе всѣ тѣ грани многогранника, которыя не прилежатъ къ углу A.
Въ нашемъ многогранникѣ такихъ граней чѳтыре: EDKL, DCHK, CBGH и FGHKL.
Каждую изъ этихъ граней примемъ за основаніѳ такой пирамиды, которой вершина лежала бы въ А.
Тогда многогранникъ разобьѳтся на пирамиды, сходящіяся вѳршинами въ точкѣ А.
Въ другомъ многогранникѣ возьмемъ сходственную вершину A_1 и тѣмъ же путемъ
разложимъ его на одинаковое число пирамидъ.
Докажемъ, что эти пирамиды соотвѣтственно подобны.
И дѣйствительно, какую бы пару соотвѣтственныхъ пирамидъ мы ни взяли, легко найдѳмъ, что основаніе и грань одной пирамиды и основаніѳ и грань другой пирамиды соотвѣтетвенно подобны, одинаково наклонены и одинаково расположены.
Hanp., у пирамидъ ADELK1 A1D1E1L1K1 основанія DELK и D1E1L1K1 подобны, какъ сходственныя грани подобныхъ многогранниковъ, грани ADE и A1D1E1 подобны, потому что подобные многоугольники ABCDE1 A1B1C1D1E1 разбиваются на соотвѣтственно подобные тр-ки;
двугранные углы DE1 D1E1 равны, какъ сходствѳнныѳ углы подобныхъ
многогранниковъ.
Изъ этого слѣдуетъ, что взятыя нами пирамиды подобны.
To же самоѳ можно сказать о другихъ пирамидахъ.
444. Теорема. Поверхности подобныхъ многогранниковъ относятся, какъ квадраты сходственныхъ реберъ.
Пусть P11 P2, Ps...Pn означаютъ площади отдѣльныхъ граней одного изъ подобныхъ многогранниковъ, а рІУ р2і р3..., рп площади сход- ственныхъ граней другого; положимъ еціе, что L и I будутъ длины двухъ какихъ-нибудь сходственныхъ ребѳръ. Тогда, вслѣдствіѳ по- добія сходственныхъ граней и пропорціональности всѣхъ сходствен- ныхъ реберъ, будемъ имѣть (326): PisssV. L^. Pjsss & Р»= L2 P1 Z2 ’ lPz J2* Vz I2'" Vn I2’ Откуда: Pt+ D2 +D3 + .- Р1 + Р2+ Рз + --- + Рп
445. Теорема. Объемы подобныхъ многогранниковъ относятся, какъ кубы сходственныхъ реберъ.
1°. Сначала докажемъ тео- рему для подобныхъ пира- мидъ. Пусть (черт. 390) пирамиды SABCDE и S1A1B1C1D1E1 подобны. Вложимъ вторую пирамиду въ первую такъ, чтобы у нихъ совпали равные многс гранные углы S м S1. Тогда оснРраріс
