— IV —
гается обстоятельно пройти статью о предѣлахъ) ученики не затруднятся усвоить и необходимое обоснованіе указаннаго опредѣленія (оно помѣщено нами въ мелкомъ шрифтѣ). Замѣтимъ еще по тому же вопросу о длинѣ, что, придерживаясь «Началъ Эвклида» и лучшихъ современныхъ иностранныхъ учебниковъ, мы не приписываемъ прямой линіи, какъ аксіому, свойства быть короче всякой другой линіи, проведенной между концами прямой, а доказываемъ эту истину въ тѣхъ мѣстахъ курса, гдѣ въ этомъ является надобность и возможность, сначала въ примѣненіи къ ломаной, а потомъ и къ кривой. И дѣйствительно, разъ мы стали на ту точку зрѣнія, что длина кривой есть понятіе сложное, разрѣшающееся только при посредствѣ другого сложнаго понятія — о предѣлѣ, становится совершенно невозможнымъ принимать за очевидную истину такое предложеніе, однимъ изъ терминовъ котораго служитъ это вдвойнѣ сложное понятіе. Съ другой стороны, и нѣтъ логической необходимости въ предварительномъ признаніи принципа Архимеда, такъ какъ онъ вполнѣ строго доказывается на ряду съ другими теоремами.
2. Въ согласіи съ изложеннымъ взглядомъ на длину кривой линіи, мы полагаемъ также, что кривыя поверхности, вслѣдствіе несовмѣстимости ихъ элементовъ съ элементами плоскости, не могутъ быть непосредственно сравниваемы съ плоскими поверхностями; поэтому мы не доказываемъ, что поверхность круглаго тѣла есть предѣлъ нѣкоторой плоской поверхности, а принимаемъ это предложеніе за опредѣленіе.
Замѣтимъ, что аналогичный вопросъ по отношенію къ площадямъ криволинейныхъ фигуръ или по отношенію къ объемамъ, ограниченнымъ кривыми поверхностями, разрѣшается совсѣмъ иначе. Въ самомъ дѣлѣ, мы совершенно ясно представляемъ себѣ, что площадь круга больше площади вписаннаго многоугольника, какъ цѣлое больше своей части, и меньше площади описаннаго многоугольника, какъ часть меньше цѣлаго; и далѣе, что при неограниченйомъ удвоеніи числа сторонъ вписаннаго и описаннаго многоугольниковъ разность между ихъ площадями стремится къ нулю; поэтому предложеніе: «площадь круга есть общій предѣлъ площадей правильныхъ вписанныхъ и описанныхъ. многоугольниковъ» должно быгь разсматриваемо не какъ опредѣленіе, а какъ теорема, подлежащая доказательству. To же самое можно сказать объ объемѣ цилиндра, конуса и шара.
