3°. Наконецъ, можетъ случиться, что, строя сумму угловъ, мы не только заполнимъ всю плоскость кругомъ ихъ общей вершины, но даже будемъ вынуждены налагать углы одинъ на другой, покрывая плоскость вокругъ общей вершины во второй разъ, въ трѳтій разъ и т. д.
Въ этомъ случаѣ понятіе о суммѣ угловъ должно быть расширено на основаніи слѣдующихъ опредѣленій:
1°. Двѣ суммы угловъ: а1 + а2 + а3 + ... +аn и b1 + b2 + bз + ... +bm считаются равными, если, строя ихъ указаннымъ путемъ, начиная отъ
одной и той же полупрямой OA въ одномъ направленіи вокругъ общей вершины О, мы для каждой суммы, во-первыхъ, обойдемъ по плоскости все пространство вокругъ точки О одинаковое число разъ и, во-вторыхъ, послѣдняя сторона угла аn совпадетъ съ послѣднею стороною угла bm.
2°. Если же эти условія не выполнены, суммы считаются неравными, при чемъ та будетъ меньше, къ которой надо приложить еще нѣкоторый уголъ или нѣсколько угловъ, чтобы получить вторую сумму.
19. Замѣчаніе 2-е. Когда двѣ полупрямыя исходятъ изъ одной точки, то, строго говоря, онѣ образуютъ не одинъ уголъ, а два угла. Возьмемъ, напр., черт. 5-й и вообразимъ, что полупрямая OA вращается вокругъ O до совпаденія съ полупрямой OB. Это вращеніе можетъ быть двоякое: или OA вращается по направленію движенія часовой стрѣлки, или же, наоборотъ, противъ движенія часовой
стрѣлки. Если обратимъ вниманіе на часть плоскости, которую OA проходитъ до совпаденія съ OB при первомъ вращеніи, то будемъ имѣть одинъ уголъ, образованный полупрямыми OA и OB и содержащій эту часть плоскости; если же обратимъ вниманіе на часть плоскости, проходимую OA до совпаденія съ OB при другомъ врашеніи,то получимъ другой уголъ, образованный тѣми же сторонами OA и OB, но содержащій эту другую часть плоскости. Эти два угла равны другъ
другу лишь въ томъ случаѣ, когда полупрямыя OA и OB составляютъ одну прямую, т.-е. когда оба угла развернутые; въ остальныхъ случаяхъ углы эти не равны, но всегда въ суммѣ составляютъ полный уголъ. Обыкновенно, говоря объ углѣ AOB1 разумѣютъ только тотъ изъ двухъ угловъ, образованныхъ полупрямыми OA и OB1 который меньше развернутаго угла.
Свойство прямого угла.
20. Опредѣленія. Два угла (АОВ и BOC, черт. 11 и черт. 12) наз. смежными, если одна сторона у нихъ общая, а двѣ другія стороны составляютъ продолженіе одна другой.
Изъ этого опредѣленія видно, что если возьмемъ произвольний уголъ (напр., AOB, черт. 11) и продолжимъ одну его сто-
