ГЛABA V.
Чнсловыя зависимости между элемектзмн треугольника и нйшорыхъ другихъ фигуръ.
229. Теорема. Въ прямоугольномъ треугольнинѣ перпендикуляръ, опущенный изъ вершины прямого угла на гйлотенузу, есть средняя пропорціональная между отрѣзками гипотенузы, а каждый катетъ есть средняя пропорціональная между гипотенузой и прилежащимъ къ этому катёту отрѣзкомъ.
Пусть AD (черт. 210) -есть перпендикуляръ, опущенный изъ верпшны прямого угла A на гипотенузу BC. Требуется доказать слѣдующія три пропорціи:
- о BD _ AD о ВС_АВ о BC _ AC Td- ~Бс',2°' ~ав ~ Idb ^ Jac-Wc
Первую пропорцію мы докажемъ изъ подобія тр-ковъ ABC и ADC, у которыхъ AD общая сторона. Эти тр-ки подобны, потому что острые углы, обозначенные на чертежѣ однѣми и тѣми же цыфрами, равны вслѣдствіе перпендикулярности ихъ сторонъ (86, 87). Возьмемъ въ AABD тѣ стороны BD и AD, которыя составляютъ первое отношеніе доказываёмой пропорціи; сходственными сторонами въ AADC будуть AD и DC; поэтому:
- BD : AD=AD : DC.
Вторую пропорцію докажемъ изъ подобія тр-ковъ ABC и ABD, у которыхъ AB общая сторона. Эти тр-ки подобны, потому что они прямоугольные, и острый уголъ B у. нихъ общій. Въ AABC возьмемъ тѣ стороны BC и AB, которыя составлдютъ первое отношеніе доказываемой пропорціи; сходственнымй сторонами въ ДABD будутъ AB и BD; поэтому:
- BC : AB=AB -.BD
Третью пропордію докажемъ изъ подобія тр-ковъ ABQ и ADC у которыхъ AC общая сторона. Эти тр-ки подобны, пртому что они оба прямоугольные и имѣютъ общій острый уголъ С. Въ
