другимъ сторонамъ, то она есть биссектрисса угла треугольника (внутренняго или внѣшняго).
Пусть
и
(черт. 208) двѣ точки, удовлетворяющія пропорціямъ:
![{\displaystyle {\frac {DA}{DA}}={\frac {BA}{BC}}\quad [1];\qquad {\frac {D_{1}A}{D_{1}C}}={\frac {BA}{BC}}\quad [2].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2296d07da74a63e498326dddbdd813c8e3b3bf8b)
Требуется доказать, что прямыя
и
дѣлятъ пополамъ: первая внутренній, а вторая внѣшній уголъ тр-ка
.
Проведя черезъ точку
прямую
, найдемъ изъ подобія треугольниковъ:
![{\displaystyle {\frac {DA}{DC}}={\frac {BA}{EC}}\quad [3];\qquad {\frac {D_{1}A}{D_{1}C}}={\frac {BA}{CE_{1}}}\qquad [4].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c7ff01c550a41310907288092d5d3576c6f7f3b)
Сравнивая пропорціи [3] съ [1] и [4] съ [2], находимъ: .
![{\displaystyle EC=BC\quad {\text{и}}\quad CE_{1}=BC.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5310cb6a210cb2fc88be338e1c9959a488e7d2)
Поэтому въ тр-кѣ
равны углы 2 и 5, а въ треугольникѣ
равны углы 3 и 6; но уг. 5=уг. 1 (какъ внутренніо накр. лежащіе при пар.) и уг. 6=уг. 4 (по той же причинѣ); слѣд., уг. 2=уг. 1 и уг. 3=уг. 4, т.-е.
и
суть биссектриссы.
228. Теорема. Геометрическое мѣсто точекъ, которыхъ разстоянія отъ двухъ данныхъ точекъ
и
находятся въ постоянномъ отношеніи
, есть окружность, когда
не равно
, и прямая, когда
.
Предположимъ сначала, что
не равно
.
Тогда на безконечной прямой, проходящей черезъ
и
(черт. 209), можно найти двѣ точки принадлежащія искомому геометрическому мѣсту (225).
Пусть это будутъ точки
и
т.-е.
![{\displaystyle CA:CB=m:n\quad {\text{и}}\quad C_{1}A:C_{1}B=m:n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/967b369ba501105b0bedac4c151df29f8055f169)