данной теоремы. Haпp., теоремѣ: «если сумма цыфръ дѣлится на 9, то число дѣлится на 9» соотвѣтствуетъ такая противоположная: «если сумма цыфръ не дѣлится на 9, то число не дѣлится на 9».
И здѣсь должно замѣтить, что вѣрность прямой теоремы еще не служитъ признакомъ вѣрности противоположной; напр., противоположное предложеніе: «если каждое слагаемое не дѣлится на одно и то же число, то и сумма не раздѣлится на это число»,— не вѣрно, тогда какъ прямое предложеніе вѣрно.
5. Зависимость между теоремами: прямой, обратной и противоположной. Для лучшаго уясненія этой зависимости выразимъ теоремы сокращенно такъ:
1°. Прямая теорема: если есть , то есть и .
2°. Обратная теорема: если есть , то есть и .
3°. Противоположная прямой: если нѣтъ , то нѣтъ и .
4°. Противоположная обратной: если нѣтъ , то нѣтъ и .
Легко обнаружить, что предложенія первое и четвертое обратимы одно въ другое, равно какъ второе и третье. Дѣйствительно, изъ предложенія: «если есть , то есть и », непосредственно слѣдуетъ: «если нѣтъ , то нѣтъ и » (такъ какъ если бы было, то, согласно первому предложенію, было бы и ); обратно, изъ предложенія: «если нѣтъ , то нѣтъ и », выводимъ: «если есть , то есть и » (такъ какъ если бы не было, то не было бы и ). Совершенно такъ же убѣдимся, что изъ второго предложенія слѣдуетъ третье, и наоборотъ.
Поэтому, чтобы быть увѣреннымъ въ вѣрности всѣхъ четырехъ теоремъ, нѣтъ надобности доказывать каждую изъ нихъ отдѣльно, а достаточно ограничиться доказательствомъ только двухъ: прямой и обратной или прямой и противоположной.
Прямая линія, плоскость. Понятіе о геометріи.
6. Геометрическія фигуры. Всякая ограниченная часть пространства называется геометрическимъ тѣломъ.
Геометрическое тѣло можно подраздѣлять на части; каждая часть геометрическаго тѣла есть также геометрическое тѣло.
Граница геометрическаго тѣла, т.-е. то, чѣмъ оно отдѣляется отъ остального пространства, наз. поверхностью.
