Страница:А. П. Киселёв. Элементарная геометрия (1914).djvu/179: различия между версиями

Предположимъ теперь, что существуетъ ещe какая-нибудь точка <math>M_1</math> нe лѳжащая на прямой <math>AB</math> и удовлетворяющая пропорции:

:<math>MA : MB = m : n.</math>

Проведя <math>CM</math> и <math>MC_1</math> мы должны заключить (227), что первая изъ этихъ прямыхъ есть биссектрисса угла <math>AMB</math>, а вторая—биссектрисса угла <math>BMN</math>;

вслѣдствіе этого уголъ <math>CMC_1</math> составленный изъ двухъ половинъ смежныхъ угловъ, долженъ быть прямой, а потому вершина его <math>M</math> лежитъ на окружности, описанной на <math>CC_1</math> какъ на діаметрѣ.

Такимъ образомъ, мы доказали, что всякая точка <math>M</math>, принадлежащая искомому геометрическому мѣсту, лежитъ на окружности <math>CC1</math>.

Теперь докажемъ обратное предложеніе, т.-е., что всякая точка этой окружности принадлежитъ геометрическоіму мѣсту.

Пусть <math>M</math> есть произвольная точка этой окружности.

Требуется доказать, что <math>MA : MB = m : n</math>.

Проведя черезъ <math>B</math> прямую <math>BE\parallel AM</math>, будемъ имѣть слѣдующія пропорціи:

:<math>MA : BD = C_1A : C_1B = m : n;\quad (1)</math>

:<math>MA : BE= CA : CB = m : n.\quad (2)</math>

:Откуда <math>BD = BE_1</math>

т.-е. точка <math>B</math> есть середина прямой <math>DE</math>.

Такъ какъ уголъ <math>CMC_1</math> вписанный и одирается на діаметръ, то онъ прямой;

поэтому </math>△DME</math> прямоугольный.

Вслѣдствіе этого, если середину <math>B</math> гипотенузы <math>DE</math> примемъ за центръ и опишемъ окружность, то эта окружность пройдетъ черезъ <math>M</math>; значитъ, <math>BD = MB</math>.

Подставивъ теперь въ продорцію (1) на мѣсто <math>BD</math> равную ей прямую <math>MB_1</math> будемъ имѣть:

:<math>MA : MB = m : n.</math>

Когда <math>m = n</math> разсматриваемое геометрическое мѣсто, очевидно, обращается въ прямую, перпендикулярную къ отрѣзку <math>AB</math> въ его серединѣ.

'''Замѣчаніе.''' Окружность, о которбй говорится въ этой теоремѣ, извѣстна подъ названіемъ '''Аполлоніевой окружности''' ({{razr|Аполлоній}}—греческій геометръ, жившій за 2 вѣка до Р. Xp.).