Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/5: различия между версиями
| [досмотренная версия] | [досмотренная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bkmd (обсуждение | вклад) стилевые правки |
Bkmd (обсуждение | вклад) прим. |
||
Строка 58:
{{§|29}} Рассмотрим теперь кривую-место порядка <math>n</math>. Если <math>a</math> — некоторое положение точки, пробегающей кривую, или, говоря короче, точки кривой, то прямая <math>A</math>, проходящая через точку <math>a</math> и следующее положение подвижной точки, является ''касательной'' к кривой в этой точке. То есть, кривая как место положений подвижной точки является также и оболочкой прямых, соединяющих между собой следующие друг за другом положения подвижной точки.
<ref>Постоянно используемые далее обороты «соседние точки кривой», «бесконечно близкие» и «точки, совпадающие с (или в) другой точкой» (но от нее в некотором смысле отличные) весьма трудны для интерпретации. Эти понятия, нигде формально неопределенные, раскрываются постепенно, причем особое внимание следует обратить на начало [[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Образование плоской кривой при помощи двух проективных пучков|Art. 10]].
<p>Кажется, что многие темные места проясняются, если рассматривать не кривую как множество точек, а точки как условия, налагаемые на кривые.
<p>Начнем с того, что кривые-места некоторой линейной системы можно подчинить условию прохождения через некоторую точку плоскости, уменьшив размерность системы на единицу. Значит, утверждение «кривая <math>C</math> порядка n проходит через точку <math>a</math>» можно понимать так: имеется линейное условие <math>a</math>, выделяющее из всех кривых порядка <math>n</math> линейное семейство кривых, которому принадлежит <math>C</math>. Двойственно: утверждение «кривая <math>C</math> класса <math>m</math> касается прямой <math>A</math>» можно понимать так: имеется линейное условие <math>A</math>, выделяющее из всех кривых класса <math>m</math> линейное семейство кривых, которому принадлежит <math>C</math>. Условие <math>b</math>, накладываемое только на кривые, проходящие через точку <math>a</math>, будем называть точкой, бесконечно близкой к <math>a</math>, если все кривые, удовлетворяющие этим двум условиям, имеет общую касательную <math>A</math>. Двойственно: условие <math>B</math>, накладываемое только на кривые, касающиеся <math>A</math>, будем называть прямой, бесконечно близкой к <math>A</math>, если все кривые, удовлетворяющие этим двум условиям, пересекаются в точке <math>a</math>. Условие <math>c</math>, накладываемое только на кривые, проходящие через точку <math>a</math> и бесконечно близкую к ней точку <math>b</math>, будем называть точкой, бесконечно близкой к <math>b</math>, если все кривые, удовлетворяющие этим условиям, имеет общую касательную <math>A</math> и бесконечно близкую к ней касательную <math>B</math>. И т.д.
<p>Про кривую, удовлетворяющую, напр., условиям <math>a, b, c</math>, можно сказать, что на ее дуге (или ветви) точки <math>a, b, c</math> следуют друг за другом, равно как и касательные <math>A</math> и <math>B</math>. Две кривые, удовлетворяющие этим условиям, пересекаются в трех точках, совпадающих с <math>a</math>.
Остается рассмотреть еще особый случай, когда из условий <math>a, b, c</math> следует еще, что кривые имеют касательную <math>B'\not =B</math>, бесконечно близкую к <math>A</math>, а следовательно, и любую касательную, бесконечно близкую к <math>A</math> (ср. § [[Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/Точки и касательные, общие для двух кривых#33|33]]). Это вырождение происходит, когда точки <math>a, b, c</math> лежат на одной прямой, поскольку кривая второго порядка, проходящая через точки <math>a, b, c</math>, вырождается в прямую <math>A</math>. Геометрически точка <math>a</math> интерпретируется как точка перегиба, а <math>A</math> — как стационарная касательная (ср. конец § [[#29|29]]).
<p>Следующее после Кремоны поколение геометров уделило большое внимание новому обоснованию теорем алгебраической геометрии (см. лекции по алгебраической геометрии Севери, относительно современного состояния проблемы подсчета кратности пересечений см. лекции Хартсхорна). О трудностях интерпретации метода бесконечно малых см. «Вступительное слово» М. Я. Выгодского к «Дифференциальному исчислению» Эйлера. — Перев.
</ref>
Строка 73 ⟶ 76 :
Однако, если одно из <math>n - 2</math> пересечений приближается бесконечно близко к <math>a</math>, то прямая <math>A</math> имеет здесь ''тройное касание'' ({{lang-it|contatto tripunto}}) с кривой. В этом случае, прямая <math>A</math> называется ''стационарной'' ({{lang-it|stazionaria}}) касательной, поскольку, если мы обозначим как <math>a,\, a',\, a''</math> три бесконечно близкие точки, составляющие касание, устойчивая касательная представляет две следующие друг за другом касательные <math>aa',\, a'a''</math>; и можно также сказать, что она является двойной касательной, точки касания <math>a,\, a'</math> которой бесконечно близки. Иными словами, если предположить, что линия образована движением прямой, когда эта прямая попадает в положение <math>A</math>, она перестает вращаться в одном направлении, останавливается и потом начинает вращаться в противоположном направлении. Точка касания <math>a</math> кривой с постоянной касательной называется ''точкой перегиба'', поскольку здесь прямая <math>A</math> касается и рассекает кривую на две части, лежащие по разные стороны касательной.
{{§|30}} Рассмотрим теперь оболочку класса <math>m</math>. Если <math>A</math> — некоторое положение прямой, движение которой задает оболочку, то есть касательная к кривой, то точка <math>a</math>, где <math>A</math> пересекает следующую за ней касательную, является точкой, в которой прямая <math>A</math> касается кривой. Следовательно, оболочка подвижной прямой является также и местом точек, общих двум следующим друг за другом положениям этой прямой.
| |||