Ахиллес, обогнав Черепаху, удобно устроился у ней на спине.
— Итак, ты домчался до конца нашей гонки? — сказала ему Черепаха. — Хотя она и в самом деле состоит из бесконечной последовательности отрезков? Надо же, а я думала, кто-то из наших мудрецов доказал, что это невозможно…
— Это возможно, — отвечал Ахиллес, — это было сделано! Доказано через движение… Видишь ли, отрезки постоянно уменьшались, и поэтому…
— Но если бы они постоянно увеличивались? — прервала его Черепаха. — Тогда что?
— О, тогда… Меня бы здесь не было, — скромно сказал Ахиллес, — а ты бы к этой минуте промчалась несколько раз вокруг света!
— О, ты льстишь мне, и притом весьма тяжеловесно, — заметила Черепаха, — ибо по весу ты тяжёл, в чём нет сомнения! Но к делу. Хочешь ли ты услышать о гонке, которую почти всякий ожидал бы одолеть за два-три шага, хотя в действительности она состоит из бесконечного количества отрезков, где каждый отрезок длиннее предыдущего?
— Весь внимание! — воскликнул Ахиллес, выхватывая из шлема (карманов обычно не носили греческие воины в те времена) огромных размеров блокнот и карандаш. — Рассказывай! И говори, пожалуйста, медленно! Скоропись ещё не изобрели…
— Божественное первое предложение Евклида… — мечтательно проговорила Черепаха. — Скажи мне, ты любишь «Начала»?
— Страстно! Во всяком случае, настолько страстно, насколько вообще можно любить трактат, который будет написан только через несколько столетий…
— Это хорошо. Давай теперь выпишем фрагмент доказательства из первого предложения: лишь два шага и заключение, выведенное из них. Будь добр, запиши их в блокнот. А чтобы было удобно потом обращаться к этим двум шагам и к заключению, назовём их А, Б и Ю:
(А) Вещи, равные одной и той же, равны между собой.
(Б) Две стороны взятого треугольника — это вещи, равные одной и той же.
(Ю) Две стороны взятого треугольника равны между собой.
Читатели Евклида, наверное, согласятся, что Ю логически следует из А и Б, так что всякий, принимающий А и Б за истину, обязан принять за истину Ю?
— Несомненно! Даже младшее дитя в старшей школе — разумеется, когда будут изобретены старшие школы, чего не произойдёт за ближайшую пару тысяч лет, — с этим согласится.
— И если какой-нибудь читатель ещё не принял А и Б за истину, то он всё равно, наверное, признает, что логическая последовательность безупречна?
— Не сомневаюсь, такой читатель может существовать. Он скажет: «я принимаю за истину гипотетическое предложение, что если А и Б истинны, Ю непременно истинно; но я не принимаю А и Б за истину». Самое разумное для такого читателя — оставить Евклида и заняться футболом.
— Но не может ли ещё существовать и такой читатель, который скажет: «Я принимаю А и Б за истину, но я не принимаю гипотетическое предложение»?
— Естественно, может. Ему тоже лучше заняться футболом.
— И ни один из этих читателей, — продолжала Черепаха, — пока ещё не находится в логической необходимости принять Ю за истину?
— Да, это так, — признал Ахиллес.
— Ну что ж, теперь я должна просить тебя взять меня за читателя этого второго рода и вынудить меня логически принять Ю за истину.
Ахиллес усмехнулся.
— Черепаха, играющая в футбол, — это…
— Конечно, аномалия, — поспешно прервала его Черепаха. — Не будем отвлекаться. Сначала доберёмся до Ю, потом — до футбола!
— Мне надо вынудить тебя принять Ю, вот оно как, — размышлял Ахиллес. — И твоё нынешнее положение заключается в том, что ты принимаешь А и Б, но не принимаешь гипотетическое предложение…
— Назовём его В, — вмешалась Черепаха…
— … но не принимаешь гипотетическое предложение:
(В) Если А и Б истинны, Ю непременно истинно.
— Таково моё нынешнее положение, — подтвердила Черепаха.
— Ну что ж, я тогда должен просить тебя принять В.
— Я так и сделаю, — ответила Черепаха, — как только ты запишешь это предложение в свой блокнот. Что ты держишь там, между прочим?
— Я — да… — замялся Ахиллес, нервно перебирая страницы, — кое-какие воспоминания о… о битвах, в которых я особо отличился.
— Да, очень много свободного места, я заметила! — развеселилась Черепаха. — Оно понадобится нам полностью! (Ахиллес содрогнулся.) Записывай под мою диктовку:
(А) Вещи, равные одной и той же, равны между собой.
(Б) Две стороны взятого треугольника — это вещи, равные одной и той же.
(В) Если А и Б истинны, Ю непременно истинно.
(Ю) Две стороны взятого треугольника равны между собой.
— Тебе следовало назвать последнее предложение Г, а не Ю, — сказал Ахиллес. — Оно наступает сразу после всех остальных: если ты принимаешь А, Б и В за истину, ты обязана принять Ю!
— Почему я обязана? — переспросила Черепаха.
— Потому что оно следует из них логически. Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно. Ты же не споришь с этим, я думаю?
— Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно, — задумчиво повторила Черепаха. — Это ещё одно гипотетическое предложение, не правда ли? И если я не сумею обнаружить в нём истину, то я могу принять А, Б и В, но всё же не принять Ю, разве нет?
— Можешь, — признал наш храбрый герой, — хотя это было бы проявлением феноменального тугодумия. Но всё-таки событие возможно. Тогда я прошу тебя согласиться ещё с одним гипотетическим предложением.
— Замечательно. Я охотно соглашусь с ним, как только оно будет записано. Мы назовём его
(Г) Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно.
Ты записал его?
— Да! — радостно воскликнул Ахиллес, закинув карандаш в маленькие ножны. — И наконец-то мы добрались до конца этой идеальной гонки! Раз ты теперь принимаешь А, Б, В и Г, ты, конечно же, принимаешь Ю.
— Разве? — кротко переспросила Черепаха. — Давай будем вполне откровенны. Я принимаю А, Б, В и Г. Что, если я всё равно отказываюсь принимать Ю?
— Тогда логика схватит тебя за горло и вынудит тебя сделать это! — победоносно ответил Ахиллес. — Логика скажет тебе: «У тебя нет другого выхода. Теперь, приняв А, Б, В и Г, ты обязана принять Ю!» Как видишь, тебе все пути отрезаны.
— Всё, что логика соизволит сообщить мне, заслуживает быть записанным, — проговорила Черепаха. — Так что запиши в свой блокнот, пожалуйста. Мы назовём это предложение:
(Д) Если А, Б, В и Г истинны, то Ю непременно истинно.
Это совершенно необходимый шаг, ты видишь?
— Вижу, — ответил Ахиллес, и грустен был его голос.
Здесь повествователь, опаздывавший в банк, вынужден был оставить счастливую пару, и он не возвращался на то же место, пока не прошло несколько месяцев. Когда он вернулся, Ахиллес всё ещё сидел на спине терпеливой Черепахи и делал записи в блокноте, который, казалось, был уже почти заполнен. А Черепаха говорила:
— Записал ли ты этот последний шаг? Если я не сбилась со счёту, это будет тысяча первый. И есть ещё несколько миллионов впереди. Итак, не соизволишь ли ты сделать мне личное одолжение, учитывая, сколь много пользы принесёт эта наша беседа логикам девятнадцатого столетия, — не соизволишь ли ты принять игру слов, которую мой кузен Черепаха Квази тогда сделает, и взять для себя новое имя Taught-Us? [1]
— Как тебе угодно! — отвечал усталый воин, закрыв в отчаянии лицо руками. — Если ты, в свою очередь, примешь игру слов, которую Черепаха Квази никогда не сделает, и возьмёшь для себя новое имя A Kill-Ease! [2]
