О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/1

О некоторых вопросах теории плоских кривых — Art. 1. Об образовании кривой при помощи двух проективных пучков
автор Луиджи Кремона, пер. Участник:Bkmd

Оригинал: итальянский. — Перевод опубл.: 1864. Источник: Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane. // Opere matematiche di Luigi Cremona. Рubblicati sotto gli auspici della R. Accademia dei Lincei. Milano: U. Hoepli, 1915. T. 2. Pag. 135 и сл.

1. Пусть заданы два проективных пучка прямых кривых. Кривые первого пучка имеют в базовой точке $o$ общую касательную, и эта точка лежит на той кривой второго пучка, которая соответствует той кривой первого пучка, для которой точка $o$ является двойной. В этом случае, как было отмечено в Introd. 51b, место пересечений соответствующих кривых двух пучков проходит через точку $o$ два раза. Попытаемся теперь определить две касательные к этому месту в двойной точке.

2. Лемма. Пусть $(U,V,W,\dots )$ и $(U',V',W',\dots )$ — соответствующие кривые двух проективных пучков одного и того же порядка $n$, которые порождают кривую $K$ порядка $2n$, проходящую через базовые точки двух пучков.

Кривые $U$ и $U'$ задают новый пучок, базовые точки которого лежат на кривой $K$. В Introd. 54a было показано, как построить такой проективный ему пучок, чтобы пересечение соответствующих кривых порождало кривую $K$. Именно, кривая $U''$ пучка $(U,U')$ пересекает $K$ еще в $n^{2}$ точках, отличных от базовых; через эти точки и одну точку, фиксированную на $K$ произвольном образом, можно провести единственную кривую порядка $n$, которую и сопоставим $U''$. Так построенные кривые и составляют искомый второй пучок, все базовые точки которого лежат на $K$. Если взять за фиксированную точку базовую точку пучка $(V,V')$, то кривой $U$, пересекающей $K$ в $2n^{2}$ точках, из которых $n^{2}$ лежат на $U'$, а другие $n^{2}$ на $V$, будет отвечать именно кривая $V$, а кривой $U$ — кривая $V'$. Это означает, что второй пучок совпадает с $(V,V')$. Отсюда следует, что любая кривая $U''$ пучка $(U,U')$ пересекает $K$ еще в $n^{2}$ точках, лежащих на кривой $V''$ пучка $(V,V')$ и что пучки $(U,U',U'',\dots )$ и $(V,V',V'',\dots )$ проективны и что кривая, порождаемая ими, — это опять $K$.^[1]

Аналогично, вторые $n^{2}$ пересечений $U''$ с $K$ лежат на кривой $W''$ пучка $(W,W')$. Этим способом мы получаем новый пучок $(U'',V'',W'',\dots )$, проективный заданным пучкам $(U,V,W,\dots )$ и $(U',V',W',\dots )$, базовые точки которого лежат на $K$. Поскольку кривые $U''$, $V''$, $W''$, … принадлежат соответственно пучкам $(U,U')$, $(V,V')$, $(W,W')$, … базовые точки которых лежат на $K$, пучок $(U'',V'',W'',\dots )$ вмести с любым из заданных пучков порождает опять кривую $K$. Итого:

Пусть заданы два проективных пучка $(U,V,W,\dots )$ и $(U',V',W',\dots )$ кривых одного и того же порядка, которые порождают кривую $K$; если $U''$ — кривая, выбранная произвольным образом в пучке $(U,U')$, то можно определить такие кривые $V'',W'',\dots$, которые принадлежат соответственно пучкам $(V,V'),(W,W'),\dots$ и образуют с $U''$ новый пучок, проективный заданным и порождающий вмести с любым из них опять кривую $K$.

3. Пусть теперь $(U,V,\dots )$ и $(U',V',\dots )$ — два проективных пучка произвольных порядков, порождающих кривую $K$. Если $L,L'$ — две произвольные линии, то два проективных пучка $(U\cup L,V\cup L,\dots )$ и $(U'\cup L',V\cup L',...)$, которые получаются путем добавления $L$ или $L'$ к каждой кривой первого или второго пучка, порождают, очевидно, место, составленное из трех кривых — $K\cup L\cup L'$. Порядки линий $L,L'$ можно подобрать таким образом, чтобы два новых пучка оказались одного и того же порядка; тогда, в силу предыдущей теоремы, можно составить новый пучок $({\mathcal {U}},{\mathcal {V}},\dots )$, проективный предыдущим, кривые которого принадлежат соответственно пучкам $(UL,U'L')$, $(V\cup L,V'\cup L')$, …, и при этом этот новый пучок вмести с пучком $(U'L',V'L',\dots )$ порождает место $K\cup L\cup L'$. Однако же очевидно, что тогда два проективных пучка $({\mathcal {U}},{\mathcal {V}},\dots )$ и $(U',V',\dots )$ порождают место $K\cup L$.

4. Предположим теперь, что все кривые пучка $(U,V)$ касаются одной и той же прямой $R$ в точке $o$, причем пусть $V$ — та кривая, для которой $o$ — двойная точка, а соответствующая ей кривая $V'$ так же проходит через точку $o$. Тогда кривая $K$ имеет две дуги, пересекающиеся в точке $o$: каковы же касательные к $K$ в этой точке?

Выберем в качестве $L$ линию, не проходящую через точку $o$, а в качестве $L'$ — линию, составленную из прямой $R$ и другой линии, не проходящей через точку $o$. В этом случае кривые пучка $(UL,U'L',\dots )$ имеют в точке $o$ одну и ту же касательную $R$: пусть ${\mathcal {U}}$ та кривая этого пучка, для которой точка $o$ — двойная. Эта точка является двойной и для двух составных кривых $VL,V'L'$; поэтому она является двойной для всех кривых пучка $(VL,V'L')$, среди которых имеется и ${\mathcal {V}}$. Далее, кривая $K$ (вмести с $L$) порождена двумя проективными пучками $(U',V',\dots )$ и $({\mathcal {U}},{\mathcal {V}},\dots )$, причем во втором все кривые имеют двойную точку в $o$; отсюда в силу теоремы Introd. 51, примененной при $r=0$, $r'=2$ и $s=s'=1$, получается, что касательные к $K$ в $o$ являются касательными к кривой ${\mathcal {V}}$ второго пучка, соответствующей той кривой $V'$ первого пучка, которая проходит через $o$. Поскольку ${\mathcal {V}}$ принадлежит пучку $(VL,V'L')$, две касательные к кривой $K$ в $o$ — это лучи, сопряженные в квадратичной инволюции, в которой касательные к $V$ сопряжены между собой, а касательная к $V'$ сопряжена с $R$ (Introd. 48).

Примечания

1. При переводе текст этого абзаца бы несколько изменен. — Перев.