НЭС/Непрерывная дробь

Непрерывная дробь
Новый энциклопедический словарь

Словник: Нарушевич — Ньютон. Источник: т. 28: Нарушевич — Ньютон (1916), стлб. 325—326 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Непрерывная дробь — так наз. выражение вида $a+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+\ldots }}}}$, где a, a₁, a₂, a₃… суть некоторые целые положительные числа, называемые неполными частными. Числа, которые получаются, если мы остановим Н. дробь на каком-нибудь неполном частном, называются подходящими дробями, напр.: для выше приведенной дроби первая подходящая есть a, вторая $a+{\frac {1}{a_{1}}}$, третья $a+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}$ и т. д. Мы вообще будем изображать подходящую дробь $a+{\cfrac {1}{a_{1}+\ldots +{\cfrac {1}{a_{n-1}}}}}$ через ${\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$, считая P_n и Q_n целыми числами. Они составляются по следующему закону:

$P_{1}=a$, $Q_{1}=1$; $P_{2}=aa_{1}+1$, $Q_{2}=a_{1}$

‎и вообще

$P_{n}=P_{n-1}a_{n-1}+P_{n-2}$; $Q_{n}=Q_{n-1}a_{n-1}+Q_{n-2}$.

‎Н. дробь называется конечной или бесконечной, смотря по тому, будет ли число неполных частных конечно или бесконечно велико. Свойства Н. дроби. Всякое рациональное число разлагается (и только одним способом) в конечную Н. дробь указанного вида и обратно, всякая такая конечная Н. дробь есть рациональное число. Далее имеем

$P_{n}Q_{n-1}-Q_{n}P_{n-1}=(-1)^{n}$,

‎откуда вытекает, что каждая подходящая дробь несократима. Разность двух подходящих дробей ${\frac {P_{n}}{Q_{n}}}-{\frac {P_{n-1}}{Q_{n-1}}}$ есть ${\frac {(-1)^{n}}{Q_{n}Q_{n-1}}}$. При разложении какого-нибудь числа в Н. дробь это число всегда будет заключено между двумя последовательными подходящими, и каждая последующая из них будет ближе к этому числу, нежели предыдущая. Основное свойство Н. дробей: каждая подходящая ближе к разлагаемому числу, нежели любая дробь с меньшим знаменателем. Подходящие четного порядка все меньше, нежели разлагаемое число x и идут, постоянно возрастая; подходящие же нечетного порядка все больше, нежели x, и идут, постоянно убывая. Если, следовательно, x иррационально, и поэтому число неполных частных бесконечно велико, то подходящие дроби и четного и нечетного порядка стремятся к общему пределу, равному x. Если x есть корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, то Н. дробь, получающаяся при разложении x, будет периодическая, т.-е., начиная с некоторого места, неполные частные будут повторяться и в одном и том же порядке. Обратно, всякая такая дробь есть корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. В высших отделах математики приходится иногда рассматривать и Н. дроби более сложного вида. Вообще Н. дроби являются одним из самых могущественных орудий анализа, как для решения теоретических вопросов, так и для практических вычислений.