НЭС/Неопределенные выражения

Неопределенные выражения
Новый энциклопедический словарь

Словник: Нарушевич — Ньютон. Источник: т. 28: Нарушевич — Ньютон (1916), стлб. 303 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Неопределенные выражения — такие выражения, которые теряют смысл для разбираемых значений входящих в них букв. Напр., ${\frac {a^{2}-x^{2}}{a-x}}$ теряет смысл при x = a, принимая виды ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {logx}{ctgx}}$ — при x = 0, обращаясь в ${\frac {\infty }{\infty }}$, $(1+x)^{\frac {1}{x}}$ при x = 0, принимая вид $1^{\infty }$ и т. д. Нередко, однако, случается, что, хотя выражение функции теряет смысл для какого-нибудь значения x, напр., при x = a, но существует определенный конечный предел, к которому стремится функция, когда x стремится к a. Тогда этот предел и называют истинным значением Н. выражения. Нахождение его называется раскрытием Н. выражения или раскрытием данной неопределенности. Название неопределенных было дано этим выражениям потому, что выражения одного и того же типа, напр. ${\frac {0}{0}}$, могут иметь разные истинные значения, и, следовательно, нельзя наперед определить это истинное значение. Общие способы для раскрытия Н. выражений даются в дифференциальном исчислении. Напр., если при x = a имеем $f(x)=0$ и $\varphi (x)=0$, то истинное значение отношения ${\frac {f(x)}{\varphi (x)}}$ при x = a (тип ${\frac {0}{0}}$) есть ${\frac {f'(a)}{\varphi '(a)}}$ (напр., равно 2a для выражения ${\frac {x^{2}-a^{2}}{x-a}}$), т.-е. равно отношению производных числителя и знаменателя. Если же это отношение само есть неопределенность того же типа, то нужно взять отношение следующих производных и т. д.