Наименьшие квадраты. — Под названием способа Н. квадратов разумеют прием, посредством которого вычисляются результаты из совокупности многих наблюдений. Числа, получаемые из наблюдений, связаны с искомыми величинами уравнениями, вид которых определяется в каждом данном случае соответствующими теоретическими изысканиями, и решение которых может быть исполнено по известным правилам алгебры. При этом каждому наблюдению соответствует некоторое уравнение. Если бы наблюдения были абсолютно точны, то и искомые величины получились бы с совершенною точностью, независимо от числа уравнений, доставляемых наблюдениями. В действительности же наблюдения, сделанные даже самыми лучшими измерительными приборами, подвержены так назыв. случайным ошибкам, и потому результаты, получаемые решением той или другой системы уравнений, оказываются различными. Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина прямой или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической средины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической средины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Самое правило арифметической средины представляет, следовательно, простейший случай способа Н. квадратов. Бо́льшие затруднения представляются при определении из наблюдений величин, которые не могут быть измерены непосредственно, и которые поэтому приходится определять из уравнения. При этом если бы число уравнений равнялось числу неизвестных, то для каждой неизвестной получилась бы одна определенная величина; если же число уравнений больше числа неизвестных, то вследствие ошибок наблюдений результаты решений отдельных групп этих уравнений в различных сочетаниях оказываются не совсем согласными между собою. До начала XIX в. ученые не имели определенных правил для решения системы уравнений, в которой число неизвестных менее числа уравнений; до этого времени употреблялись частные приемы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Лежандру и Гауссу принадлежит первое применение к решению указанной системы уравнений теории вероятностей, исходя из начал, аналогичных с началом арифметической средины, уже издавна и, так сказать, бессознательно применяемых к выводам результатов в простейшем случае многократных измерений. Как и в случае арифметической средины, вновь изобретенный способ не дает, конечно, истинных значений искомых, но дает зато вероятнейшие значения. Этот способ распространен и усовершенствован дальнейшими изысканиями Лапласа, Энке, Бесселя, Ганзена и др. и получил название способа Н. квадратов, потому что после подстановки в начальные уравнения неизвестных величин, выведенных этим способом, в правых частях уравнений получаются если и не нули, то небольшие величины, сумма квадратов которых оказывается меньшею, чем сумма квадратов подобных же остатков, после подстановки каких бы то ни было других значений неизвестных. Помимо этого, решение уравнений по способу Н. квадратов дает возможность выводить вероятные ошибки неизвестных, т.-е. дает величины, по которым судят о степени точности выводов. Пусть дано решить систему уравнений
число которых более числа неизвестных x, y, z… Чтобы решить их по способу Н. квадратов, составляют новую систему уравнений, число которых равно числу неизвестных, и которые затем решаются по обыкновенным правилам алгебры. Эти новые или так называемые нормальные уравнения составляются по следующему правилу: умножают сперва все данные уравнения на коэффициенты у первой неизвестной x и, сложив почленно, получают первое нормальное уравнение, умножают все данные уравнения на коэффициенты у второй неизвестной y и, сложив почленно, получают второе нормальное уравнение и т. д. Уравнения (1) представляют систему линейных уравнений, т.-е. уравнений, в которых все неизвестные входят в первой степени. В большинстве случаев уравнения, связывающие наблюденные и искомые величины, бывают высших степеней и даже трансцендентные, но это не изменяет сущности дела: предварительными изысканиями всегда можно найти величины искомых с таким приближением, что затем, разложив соответствующие функции в ряды и пренебрегая высшими степенями искомых поправок, можно привести любое уравнение к линейному.