НЭС/Мнимые числа

Мнимые числа
Новый энциклопедический словарь

Словник: Мацеёвский — Молочная кислота. Источник: т. 26: Мацеёвский — Молочная кислота (1915), стлб. 822—827 ( скан ) • Даты российских событий указаны по юлианскому календарю.

Мнимые числа — корни четной степени из отрицательных чисел. В математике постоянно встречаются примеры того, что та или другая задача оказывается неразрешимой в известной области чисел. Так, напр., деление 11 на 3 невыполнимо в области целых чисел, вычитание 7 из 2 невыполнимо в области положительных чисел, решение уравнения x² = 2 (отыскание ${\sqrt {2}}$) невыполнимо в области рациональных чисел. При встрече с такими задачами приходится поэтому избрать один из двух следующих путей: или не выходить из области чисел, уже известных, и тогда признать поставленную задачу неразрешимой, или допустить, что она имеет решение, но это решение принадлежит к новой категории чисел, которой мы до сих пор не знали. Другими словами, допуская разрешимость поставленной задачи, мы этим самым вынуждаемся расширить понятие о числе за пределы области, которая была до сих пор известна. Логически возможны и та, и другая постановки вопроса, но, конечно, они не представляются равноценными, если принять в рассчет и другие обстоятельства дела. Прежде всего, практические потребности обычной жизни весьма определенно и настойчиво указывают на возможность и полезность расширения понятия о числе. Совершенно ясно, что, напр., результат деления 11 на 3, нелепый для знающего только целые числа, приобретает совершенно определенный и ясный смысл, как только число 11 является, напр., изобразителем некоторой длины. Результат вычитания 7 из 2, нелепый для знающего только положительные (или абсолютные) числа, приобретает совершенно реальный смысл, когда дело идет о величинах, имеющих направление (прибыль и убыток, градусы тепла и холода и т. д.). К тому же самому приводят и теоретические соображения, ибо нет никаких оснований для того, чтобы понятие о числе (как ответ на вопрос: сколько?) исчерпывалось непременно одними целыми или одними положительными числами и не допускало дальнейшего расширения. Все сказанное дает и правильную точку зрения на природу и М. чисел. Несомненно, во всей области не только рациональных, но и иррациональных чисел (так назыв. вещественных чисел) нет ни одного числа, которого квадрат был бы отрицательным. Следовательно, в этой области решение, напр., уравнения x² = −3 является невозможным, а символ ${\sqrt {-3}}$ не имеющим смысла. Но отсюда еще вовсе не следует, чтобы этот символ вообще не имел никакого смысла, чтобы нельзя было построить такую систему чисел, для которых возможно было бы установить совершенно определенные законы действий, и при этом получалось бы, напр., что квадраты некоторых таких чисел оказывались бы отрицательными. Наоборот, потребность в простоте и общности выводов настоятельно требовала такого расширения понятия о числе. Математики так и сделали. Конечно, такой процесс развития идеи о М. числе совершился не скоро. Впервые М. числа упоминаются итальянским математиком Карданом в его «Artis magnae sive de regulis Algebrae liber unus» (1545). Английский математик Wallis в своей алгебре (1673) называет М. числа невозможными. Но последующие ученые уже начали применять М. числа для обобщения теорем. Здесь особенно следует указать Моавра, Иоанна Бернулли, д’Аламбера и Эйлера. Первые попытки найти геометрическое истолкование М. числа принадлежат Кюну («Novi Commentarii Academiae Petropolitanae», за 1750—1751 гг.). Окончательно это истолкование установлено Гауссом (1828—1832). Основателем же теории функций от мнимых переменных следует признать Коши, который и посвятил большую часть своей деятельности разработке этой теории. Значительный успех здесь был достигнут Риманном (1851), придумавшим так назыв. Риманновы поверхности, посредством которых достигается превращение многозначных алгебраических функций в однозначные. Основною мнимою величиною является ${\sqrt {-1}}$, называемый мнимою единицею и обозначаемый буквою i (начальная буква слова imaginaire [мнимый]). При помощи этого символа мы образуем сочетания вида a + bi, где под a и b мы подразумеваем некоторые вещественные числа. Такая комбинация получает название комплексного числа, и в настоящее время доказано, что это есть самый общий вид чисел, для которых сохраняются основные законы наших действий (напр., неизменяемость произведения при перестановке множителей). Число a называется вещественною, а bi — мнимою частью комплексного числа (числа вида bi называются также чисто-мнимыми числами). Знак + в символе a + bi указывает собою, конечно, не обыкновенное сложение, а то обстоятельство, что числа a и bi нужно рассматривать вместе, как составные части одного целого — комплексного числа. Гаусс установил весьма важное геометрическое толкование комплексных чисел, именно всякому такому числу a + bi он сопоставляет ту точку плоскости, которой прямоугольные координаты суть a и b, и считает эту точку геометрическим изображением комплексного числа. Расстояние ρ от точки M до начала координат есть так назыв. модуль комплексного числа, обозначаемый нередко таким же символом [a + bi], каким обозначается абсолютная величина числа (ибо для вещественных чисел модуль и совпадает с абсолютною величиною). Мы имеем:

$\rho =[a+bi]=+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

‎Угол же φ, образуемый осью x’ов с направлением OM, называется аргументом комплексного числа. Мы имеем:

$a=\rho \cos \varphi ,\,b=\rho \sin \varphi ;\,tg\,\varphi ={\frac {b}{a}}$,

‎и само комплексное число может быть изображено так:

$a+bi=\rho \,(\cos \varphi +i\sin \varphi )$.

‎Действия над комплексными числами производятся на основании следующих соглашений: I. Комплексное число a + bi считается равным нулю тогда и только тогда, когда отдельно равны нулю и вещественная часть, и коэффициент при i (a = 0 и b = 0). II. Два комплексных числа a + bi и a′ + b′i считаются равными тогда и только тогда, когда равны их вещественные части и коэффициенты при i, т.-е. равенство a + bi = a′ + b′i равносильно совокупности двух равенств между вещественными числами a = a′ и b = b′. III. Действия над символами вида a + bi производятся по тем же правилам, как для алгебраических двучленов (как если бы i было обыкновенным вещественным числом) с условием только везде заменять i² через −1. Отметим некоторые любопытные и важные следствия этих соглашений. 1) Все целые степени числа i имеют только 4 различных значения: i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = +1, а дальше повторяются периодически те же значения. 2) Модуль суммы (или разности) двух комплексных чисел не больше суммы и не меньше разности модулей слагаемых. 3) Модуль произведения (или частного) двух комплексных чисел равен произведению (или частному модулей множителей (или делимого и делителя). Аргумент произведения (или частного) двух комплексных чисел можно считать равным сумме (или разности) аргументов множителей (или делимого и делителя). 5) Формула Моавра (см.):

$(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{n}=\cos n\varphi +i\sin n\varphi$.

‎Переменным комплексным числом называют выражение вида z = x + iy, в котором x и y суть вещественные переменные числа. Функциею от комплексного переменного можно было бы называть всякое выражение вида u + iv, где u и v суть любые функции от x и y, ибо всякому значению z будет соответствовать пара определенных значений x и y, а стало-быть, и определенные значения u и v. Оказывается, однако, что при такой широкой постановке дела выражение u + iv, вообще говоря, не будет иметь определенной производной по отношению к z. Именно, придадим некоторые приращения Δx и Δy величинам x и y. Соответственное приращение z будет Δz = Δx + iΔy. Пусть приращения величин u и v будут Δu и Δv. Вообще говоря и окажется, что отношение ${\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta z}}$ не будет иметь определенного предела при Δz = 0, а этот предел будет разным, смотря по тому, по какому закону Δx и Δy пойдут к нулю. Для того же, чтобы отношение ${\frac {\Delta u+i\Delta v}{\Delta z}}$ имело определенный предел, не зависящий от закона убывания Δx и Δy, необходимы некоторые добавочные условия, именно

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\,{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\qquad (1)$.

‎Выражения вида u + iv, которые удовлетворяют этим условиям (1), и были названы Коши моногенной (однопроизводной) функцией от z. Теперь принято называть их просто функциями и обозначать соответственным символом F(z). Между прочим, из уравнений (1) видно, что u и v будут решениями уравнения с частными производными

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}=0$,

‎которое, в свою очередь, представляет собою частный случай знаменитого уравнения Лапласа

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0$,

‎встречающегося во многих вопросах математической физики. Этим объясняется большая роль теории функций мнимого переменного в этих вопросах. Пусть u + iv будет некоторая функция F(z) от комплексной переменной z = x + iy. Будем графически изображать z как точку M некоторой плоскости P с координатами x и y, a F(z) — как точку N некоторой другой плоскости P′ с координатами u и v. Тогда каждой точке M будет соответствовать одна или несколько точек N и каждой фигуре на плоскости P — одна или несколько определенных фигур на плоскости P′. Таким образом, каждая функция от комплексной переменной дает некоторое преобразование любой плоской фигуры в некоторую другую. Это преобразование называется конформным. Название это произошло оттого, что при этом преобразовании, как можно доказать, сохраняется подобие в бесконечно малых частях обеих фигур. Рассмотрение комплексных переменных чрезвычайно полезно в теории алгебраических функций и интегралов от них. Оно объясняет там целый ряд фактов, остававшихся без него темными. Так, напр., оно показывает, что различные значения, которые может принимать алгебраическая функция, неотделимы друг от друга и составляют части одного неразрывного целого, непрерывно переходя друг в друга при непрерывном изменении аргумента. Рассмотрим, напр., простейшую функцию $W={\sqrt {z}}$. Для каждого z она имеет два значения $+{\sqrt {z}}$ и $-{\sqrt {z}}$. Возьмем какое-нибудь значение z, напр., z₀ (вещественное или мнимое) и определенное значение функции, напр., $+{\sqrt {z_{0}}}$. Будем затем непрерывно изменять z так, чтобы точка, изображающая z, описала сомкнутый контур и вернулась в исходное положение. Тогда, если точка z = 0 не находится внутри этого контура, то и функция вернется к своему прежнему значению $+{\sqrt {z_{0}}}$. Если же этот контур охватывает точку z = 0, то при возвращении z к прежнему значению z₀ функция получит уже значение $-{\sqrt {z_{0}}}$, и таким образом обе ветви двузначной функции ${\sqrt {z}}$ ($+{\sqrt {z}}$ и $-{\sqrt {z}}$) непрерывно переходят одна в другую. Разрабатывая эту идею, Риманн и пришел к мысли заставлять независимое переменное z двигаться не по плоскости, а по некоторой поверхности (Риманнова поверхность), составленной из нескольких листов, наложенных друг на друга и соединенных известным образом. Тогда, действительно, каждому положению точки, изображающей z, будет соответствовать только одно значение функции, т.-е. функция обращается в однозначную. Число листов Риманновой поверхности и закон их соединения между собою зависят от природы разбираемой функции. Интегралом от функции f(z) комплексного переменного z, взятым по контуру L, называется предел суммы такого вида (z₁ − z₀)f(z₀) + (z₂ − z₁)f(z₁) + … + (Z − z_n)f(z_n), где z₀ есть начальная, Z — конечная точка контура L, а z₁, z₂ … z_n — промежуточные точки того же контура. Предел берется в предположении, что модули всех разностей z₁ − z₀, z₂ − z₁, … Z − z_n, стремятся к нулю и, следовательно, число n к бесконечности. Этот интеграл обозначается символом $\int \limits _{L}f(z)dz$. Линия L называется путем или контуром интегрирования. Вместо чисел f(z₀), f(z₁)… можно брать также значения функции f(z) для любых точек, лежащих между z₀ и z₁, z₁ и z₂ и т. д. соответственно. Изучая эти интегралы, Коши установил целый ряд их важнейших свойств. Приводим некоторые из них: 1) Интеграл, взятый по сомкнутому контуру (z₀ = Z), всегда равен нулю, если подъинтегральная функция непрерывна и однозначна внутри этого контура. 2) Следствие. Интеграл с теми же пределами не изменяется при изменении пути интегрирования до тех пор, пока этот путь не пройдет чрез точку, где функция перестает быть непрерывной или однозначной. 3) Если внутри сомкнутого контура L функция f(z) остается однозначной и непрерывной, кроме одной точки а, при чем предел (z − а)f(z) существует и равен некоторому числу p, то

$\int \limits _{L}f(z)dz=2\pi ip$.

‎4) Следствие. Если f(z) есть функция однозначная и непрерывная внутри некоторого сомкнутого контура L, то

$f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {f(z)}{z-x}}dz\,$ (интеграл Коши).

‎Эта поразительная формула указывает, что при сделанных условиях функция внутри контура вполне определяется своими значениями на этом контуре (ибо они одни нужны для составления интеграла, который стоит в правой части). — См. Jordan, «Cours d’Analyse» (т. I); E. Picard, «Traité d’Analyse» (т. I—II); Ed. Goursat, «Cours d’Analyse»; С. Савич, «Лекции no теории функций комплексного переменного».

Б. Коялович. ‎