К теореме о разложимости преобразований Кремоны на плоскости (Б. К. Млодзиевский)/ДО

Къ теоремѣ о разложимости Кремоновыхъ преобразованій на плоскости
авторъ Б. К. Млодзѣевскій

Опубл.: 1913. Источникъ: Математический сборник, т. 29. C. 269-275.

Какъ извѣстно, Noether и Rosanes одновременно доказали въ 1871 году, что каждое Кремоново преобразованіе на плоскости, всѣ центры котораго различны (не сливаются между собою), можетъ быть разложено на рядъ преобразованій второй степени. Доказательство этой теоремы, существенная важность которой очевидна, основывается на томъ, что въ той Кремоновой сѣти кривыхъ одной плоскости, въ которую данное Кремоново преобразованіе превращаетъ сѣть прямыхъ линій на другой плоскости, наивысшая сумма кратностей этихъ кривыхъ въ трехъ изъ центровъ сѣти всегда больше, чѣмъ порядокъ кривыхъ сѣти, т.е. чѣмъ порядокъ этого Кремонова преобразованія. Въ самомъ дѣлѣ, обозначимъ черезъ $n$ порядокъ даннаго Кремонова преобразованія и черезъ $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\alpha _{3}$ порядки кратности Кремоновыхъ кривыхъ въ трехъ высшихъ центрахъ $A_{1},\,A_{2},\,A_{3}$ Кремоновой сѣти. Тогда, если мы примемъ точки $A_{1},\,A_{2},\,A_{3}$ за три центра квадратичнаго преобразованія, то это преобразованіе превратитъ кривыя нашей сѣти въ кривыя порядка $2n-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})$. Такимъ образомъ, если $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>n$, то порядокъ новыхъ кривыхъ будетъ менѣе $n$, и, слѣдовательно, порядокъ Кремонова преобразованія понизится. Продолжая поступать такимъ образомъ, мы разложимъ данное Кремоново преобразованіе на рядъ преобразованій второй степени.

Предложеніе, выражаемое неравенствомъ $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>n$, на которомъ основанъ предыдущій выводъ, доказывалось неоднократно, но всѣ доказательства этого предложенія, данныя различными учеными, чрезмѣрно искусственны и сложны. Наиболѣе простое доказательтво было предложено К. А. Андреевымъ въ его сочиненіи «О геометрическихъ соотвѣтствіяхъ въ примѣненіи къ вопросу о построеніи кривыхъ линій» («Математическій Сборникъ», т. IX, 1878). Доказательство того же предложенія, предлагаемое мною въ настоящей статьѣ, какъ мнѣ кажется, приводитъ къ цѣли наиболѣе естественнымъ и простымъ путемъ.

Пусть мы имѣемъ Кремоново преобразованіе $n$—го порядка, гдѣ $n\geq 2$. Пусть сѣть Кремоновыхъ кривыхъ этого преобразованія имѣетъ $k$ центровъ $A_{1},\,A_{2},\dots A_{k}$, въ которыхъ кривыя сѣти имѣютъ точки съ кратностями $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots \alpha _{k}$, при чемъ эти центры расположены въ порядкѣ убыванія ихъ кратностей, такъ что

$\alpha _{1}\geq \alpha _{2}\geq \dots \geq \alpha _{k}$

Докажемъ, что $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>n$.

Извѣстно, что числа $\alpha$ удовлетворяютъ двумъ соотношеніямъ

${\frac {1}{2}}\sum \limits _{r=1}^{k}\alpha _{r}(\alpha _{r}+1)={\frac {1}{2}}n(n+3)-2$, $\sum \limits _{r=1}^{k}\alpha _{r}^{2}=n^{2}-1$

(1.)

изъ которыхъ первое выражаетъ, что кривыя, проходящія черезъ центры $A$, образуютъ сѣть, а второе, что каждыя двѣ кривыя сѣти имѣютъ, кромѣ центровъ $A$, еще только одну точку пересѣченія.

Вычитая первое уравненіе изъ второго, получаемъ которое показываетъ, что всѣ кривыя сѣти — уникурсальныя и что всѣ ихъ кратныя точки входятъ въ число центровъ сѣти. Уравненія (1) можно замѣнить двумя слѣдующими:

$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\dots +\alpha _{k}^{2}=n^{2}-1$,

(2.)

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{k}=3(n-1)$.

(3.)

Такъ какъ кривая $n$-го порядка не можетъ имѣть кратныхъ точекъ выше $(n-1)$-й кратности, то каждое число $\alpha _{r}$ не можетъ быть болѣе $n-1$; а тогда второе уравненіе показываетъ, что $k$, число центровъ сѣти, не можетъ быть менѣе трехъ.

Обращаемся къ доказательству нашей теоремы. Разложимъ въ первомъ равенствѣ всѣ члены, кромѣ первыхъ двухъ, на два множителя, и сохраняя одинъ изъ множителей, замѣнимъ другой вездѣ черезъ $\alpha _{3}$. Такъ какъ $\alpha _{3}$ не менѣе каждаго изъ послѣдующихъ указателей кратности $\alpha _{4},\dots ,\alpha _{k}$, то такая замѣна можетъ только увеличить лѣвую часть, и мы будемъ имѣть

$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}(\alpha _{3}+\alpha _{4}+\dots +\alpha _{k})\geq n^{2}-1$,

или, на основаніи второго равенства,

$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}+\alpha _{3}[3(n-1)-\alpha _{1}-\alpha _{2}]\geq n^{2}-1$.

Послѣднее неравенство можно представить такъ:

$\alpha _{1}(\alpha _{1}-\alpha _{3})+\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{3})+3(n-1)\alpha _{3}\geq n^{2}-1$.

Мы уже видѣли, что указатели $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$ не могутъ быть болѣе $n-1$; поэтому, замѣняя ихъ черезъ $n-1$, мы можемъ только усилить неравенство и получимъ

$(n-1)(\alpha _{1}-\alpha _{3})+(n-1)(\alpha _{2}-\alpha _{3})+3(n-1)\alpha _{3}\geq n^{2}-1$.

или

$(n-1)(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})\geq n^{2}-1$.

Такъ какъ $n>1$, то отсюда, сокращая на $n-1$, получимъ требуемое неравенство

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>n$.

(4.)

Пользуясь тѣмъ же пріемомъ, можно весьма просто доказать и болѣе общую теорему Noether'а, полученную имъ довольно сложнымъ и притомъ косвеннымъ путемъ («Mathematische Annalen», Bd. V, 1872). Возьмемъ въ рядѣ указателей $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}$ столько послѣдовательныхъ указателей, начиная съ $\alpha _{2}$, чтобы ихъ сумма не превышала $\alpha _{1}$. Такимъ образомъ, если эти указатели будутъ $\alpha _{2},\,\alpha _{3},\dots ,\alpha _{h-1}$, то будемъ имѣть

$\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-1}\leq \alpha _{1}$.

(5.)

Здѣсь число $h$ не есть непремѣнно наибольшій нумеръ указателя, удовлетворяющій нашему требованію. Поэтому, если сумма $\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-1}$ удовлетворяетъ условію (5), то вмѣсто нея мы можемъ взять $\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-2}$ или $\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-3}$ и т. д. Легко видѣть, что указатель $h$, удовлетворяющій условію (5), всегда существуетъ, такъ какъ $\alpha _{2}\leq \alpha _{1}$ и потому, положивъ $h=3$, мы навѣрное получимъ одночленную сумму, удовлетворяющую условію (5).

Пусть будетъ $\alpha _{h}$ указатель кратности, слйдующiй за $\alpha _{h-1}$. Такой указатель навѣрное существуетъ, такъ какъ изъ условiя (5) слѣдуеть, что

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{h-1}\leq 2\alpha _{1}\leq 2(n-1)$,

а такъ какъ согласно равенству (3), сумма всѣхъ указателей $\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{k}$ равна $3(n-1)$, то число $k$ всѣхъ центровъ сѣти должно быть болѣе, чѣмъ $h-1$.

Разсмотримъ, напримѣръ, одно изъ Кремоновыхъ преобразованій порядка $n=15$. Оно имѣетъ десять центровъ слѣдующихъ кратностей:

$\alpha _{1}=10,\,\alpha _{2}=\alpha _{3}=5,\,\alpha _{4}=\alpha _{5}=\alpha _{5}=4,\,\alpha _{7}=\alpha _{8}=3,\,\alpha _{9}=\alpha _{10}=2$

Здѣсь $k=10$, $h$ можетъ быть 3 или 4.

Noether доказалъ, что если $h$ удовлетворяетъ условію (5), то имѣетъ мѣсто неравенство

$\alpha _{1}+2\alpha _{h}>n$.

(6.)

Мы докажемъ это предложеніе весьма просто слѣдующимъ образомъ. Разложимъ, какъ и выше, въ равенствѣ (2) каждое слагаемое лѣвой части на два множителя; но теперь замѣнимъ первые множители во всѣхъ членахъ отъ $\alpha _{2}^{2}$ до $\alpha _{h-1}^{2}$ черезъ $\alpha$, а во всѣхъ членахъ отъ $\alpha _{h}^{2}$ до конца — черезъ $\alpha _{h}^{2}$. Отъ этого лѣвая часть можетъ только увеличиться, и мы будемъ имѣть

$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}(\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-1})+\alpha _{h}(\alpha _{h}+\alpha _{h+1}+\dots +\alpha _{k})\geq n^{2}-1$,

или, на основаніи (3)

$\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}(\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-1})+\alpha _{h}(3(n-1)-\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{h-1})\geq n^{2}-1$,

или, иначе,

$(\alpha _{1}-\alpha _{h})\alpha _{1}+(\alpha _{2}-\alpha _{h})(\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-1})+3(n-1)\alpha _{h}\geq n^{2}-1$.

Но, по условію (5), это неравенство можетъ только усилиться отъ замѣны множителя при $(\alpha _{2}-\alpha _{h})$ черезъ $\alpha _{1}$. Поэтому имѣемъ

$(\alpha _{1}+\alpha _{2}-2\alpha _{h})\alpha _{1}+3(n-1)\alpha _{h}\geq n^{2}-1$,

или

$(\alpha _{1}+\alpha _{2})\alpha _{1}-2\alpha _{1}\alpha _{h}+3n\alpha _{h}-3\alpha _{h}\geq n^{2}-1$.

Такъ какъ $2\alpha _{1}\geq \alpha _{1}+\alpha _{2}$ и $3\alpha _{h}>1$, то отсюда слѣдуетъ

$(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{1}-\alpha _{2})-3n\alpha _{h}\geq n^{2}$.

Но $\alpha _{1}+\alpha _{2}\leq n$, такъ какъ въ противномъ случаѣ прямая, соединяющая два высшихъ центра $A_{1}$ и $A_{2}$ Кремоновой сѣти, встрѣчала бы кривыя $n$-го порядка, образующія эту сѣть, больше чѣмъ въ $n$ точкахъ. Поэтому мы можемъ только усилить послѣднее неравенство, замѣнивъ въ немъ $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ черезъ $n$. Мы будемъ имѣть

$n(\alpha _{1}-\alpha _{h})+3n\alpha _{h}>n^{2}$,

или

$\alpha _{1}+2\alpha _{h}>n$.

(6.)

Такимъ образомъ, теорема Noether'а нами доказана.

Легко видѣть, что теорема Noether'а содержитъ въ себѣ, какъ частный случай, теорему, выражаемую неравенствомъ (4). Послѣднее получается изъ (6) при $h=3$.

Изъ теоремы Noether'а вытекаетъ слѣдующее важное свойство Кремоновой сѣти. Пусть будетъ $A_{g}$ центръ сѣти, нумеръ котораго болѣе единицы, но менѣе $h$. Такъ какъ центры расположены въ порядкѣ убыванія ихъ кратностей, то $\alpha _{g}\geq \alpha _{h}$. Поэтому изъ неравенства (5) слѣдуетъ

$\alpha _{1}+\alpha _{g}+\alpha _{h}>n$.

Это показываетъ, что мы понизимъ порядокъ Кремонова преобразованія не только въ томъ случаѣ, если примѣнимъ къ нему квадратичное преобразованіе, центры котораго лежатъ въ трехъ высшихъ центрахъ $A_{1},\,A_{2},\,A_{3}$ сѣти, какъ мы это видѣли въ первой части этой статьи. Порядокъ сѣти понизится всякій разъ, когда мы возьмемъ, кромѣ наивысшаго центра $A_{1}$, два другихъ, нумера которыхъ не болѣе наибольшаго числа $h$, удовлетворяющаго условію (5)

$\alpha _{2}+\alpha _{3}+\dots +\alpha _{h-1}\leq \alpha _{1}$.

Такъ, въ приведенномъ выше примѣрѣ Кремонова преобразованія при $n=15$ мы имѣемъ $h\leq 4$, и потому мы навѣрное понизимъ порядокъ этого преобразованія, помѣстивъ одинъ центръ квадратичнаго преобразованія въ $A_{1}$, а два другихъ въ двухъ изъ трехъ точекъ $A_{2},\,A_{3},\,A_{4}$. Дѣйствительно, мы имѣемъ, напримѣръ,

$\alpha _{1}+\alpha _{3}+\alpha _{4}=10+5+4>15$.

Теорема Noether'а показываетъ, что въ тѣхъ случаяхъ, когда $h>3$, мы можемъ понизить порядокъ Кремонова преобразованія посредствомъ нѣсколькихъ различныхъ квадратичныхъ преобразованій. Это обстоятельство имѣетъ особенное значеніе въ тѣхъ случаяхъ, когда три высшихъ центра Кремонова преобразованія сливаются между собою и не могутъ быть приняты за центры квадратичнаго преобразованія.