Интегрирование дифференциальных уравнений (Егоров)/1

Интегрирование дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее, частное и особое решение и интеграл. Исключение постоянных.
автор Дмитрий Фёдорович Егоров

Опубл.: 1909. Источник: Д. Егоров. Интегрирование дифференциальных уравнений. Ч. 1-2. Москва, 1909.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнение $n$-го порядка имеет вид:

$F(x,\,y,\,y',\,y'',\,y''',\dots y^{(n)})=0$,

(3eq1.)

где $y',\,y'',\,y''',\dots y^{(n)}$ — производные различных порядков. При изучении дифференциальных уравнений, возникает прежде всего вопрос относительно функции $F$, входящей в левую часть. Во всем дальнейшем будем считать ее непрерывной и допускающей производные по всем аргументам. Если мы поставили задачу определения $y$ в элементарных функциях, то в этом случае на функцию $F$ естественно наложить такое же ограничение, а именно, $F$ должно выражаться непременно в элементарных функциях, это последнее ограничение может быть заменено более тесным предположением, что $F$ — алгебраическая функция от $x,\,y,\,y',\,y'',\,y''',\dots y^{(n)}$, а следовательно, можно предположить, $F$ — целый рациональный многочлен. Этого упрощения можно достигнуть дифференцированиями и исключением. Покажем это на простом примере.

Пусть дано уравнение

$e^{y'}+xy'-2y=0,$

где $y'$ — первая производная. Дифференциальное уравнение $1$-го порядка дифференцируем:

$e^{y'}y''+xy'+y'-2y'=0$

Из двух уравнений исключаем $e^{y'}$; умножая 1-ое уравнение на $y''$ и вычитая первое из второго, получим:

$x(1-y')y''+2yy''-y'=0.$

Полученное уравнение — алгебраическое относительно всех аргументов, но уже не 1-го порядка, а высшего второго порядка. Таким образом, уничтожение трансцендентностей произошло за счет увеличения порядка дифференциального уравнения. Обыкновенно ограничиваются требованием алгебраичности только относительно $y$ и его производных; например, рассматривают уравнение хотя бы такого вида:

$(y')^{2}-\cos {x}\,y'+2e^{x}\,y=0.$

При более общей постановке задачи ограничиваются предположениями, упомянутыми в самом начале.

Всякая функция $y$, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения. При этом подразумевается, что функция $y$ определена и дифференцируема в некоторой области изменения переменной $x$. Вместо того, что бы искать $y=f(x)$, мы можем искать соотношение вида $\Phi (x,y)=0$, то есть определить $y$ как неявную функцию от $x$. Такого рода соотношения называются интегралами дифференциального уравнения. Заметим еще, что равенство

$y=f(x)$

тоже есть интеграл, но сама функция есть решение дифференциального уравнения. Процесс нахождения всех решений $y$ данного дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.^[1]

Общее решение дифференциального уравнения

Рассмотрим простейший случай дифференциального уравнения

$y'=\phi (x).$

Интегрирование этого уравнения сводится к нахождению квадратуры

$y=\int \phi (x)dx+C.$

В этом случае задача интегрирования есть задача неопределенная вследствие присутствия в решении произвольного элемента --- произвольной постоянной $C$. Придавая $C$ различные значения $1,2,\dots -4,\dots {\sqrt {2}},\dots$ будем получать различные решения $y$. Поэтому можно ожидать, что и более общая задача есть тоже задача неопределенная и что ее интеграл тоже содержит произвольные элементы в виде произвольных постоянных $C_{1},\,C_{2},\dots C_{n}$:

$\Phi (x,\,y,\,C_{1},\,C_{2},\dots C_{n})=0$

Пусть, наоборот, нам задано соотношение вида

$\Phi (x,\,y,\,C_{1},\,C_{2},\dots C_{n})=0$.

(5eq1.)

Дифференцируем его последовательно $n$ раз по $x$, получаем, включая уравнение (5eq1), систему:

$\left\{{\begin{array}{l}{\Phi (x,\,y,\,C_{1},\,C_{2},\dots C_{n})=0}\\{{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}y'=0}\\{{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}{y'}^{2}+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}y''=0}\\{\dots }\\{{\frac {\partial ^{n-1}\Phi }{\partial x^{n-1}}}+{\frac {n-1}{1}}{\frac {\partial ^{n-1}\Phi }{\partial x^{n-2}\,\partial y}}y'+\dots +{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}y^{(n-1)}=0}\\{{\frac {\partial ^{n}\Phi }{\partial x^{n}}}+{\frac {n}{1}}{\frac {\partial ^{n}\Phi }{\partial x^{n-1}\,\partial y}}y'+\dots +{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}y^{(n)}=0}\\\end{array}}\right.$

(A.)

Эти соотношения содержат $x,\,y,\,y',\,y'',\dots y^{(n)}$ и постоянные $C_{1},\,C_{2},\dots C_{n}$, которых всего $n$ — всего уравнений $n+1$. Исключая отсюда все постоянные величины $C_{1},\,C_{2},\dots C_{n}$, получим одно соотношение такого вида:

$F(x,\,y,\,y',\,y'',\,y''',\dots y^{(n)})=0$,

(6eq2.)

то есть дифференциальное уравнение.

Если из равенства \eqref{5eq1} определим $y$ как функцию $x$, то есть \begin{equation} \label{6eq3} y = f(x, \, C_1, \, C_2, \dots C_n), \end{equation} и подставим ее в дифференциальное уравнение \eqref{6eq2}, то получим, очевидно, тождество, следовательно,

$y=f(x,\,C_{1},\,C_{2},\dots C_{n})$

есть решение дифференциального уравнения \eqref{6eq2}. Оно содержит $n$ произвольных постоянных, которым мы можем давать любое значение. Решение \eqref{6eq3} называется {\em общим решением} дифференциального уравнения \eqref{6eq2}, а соотношение \eqref{5eq1} — {\em общим интегралом}. Если постоянным даем частные значения, то получаем частные решения. Итак, {\em частными решениями} называются решения, получающиеся из общего при частном значении постоянных. {\em Частным интегралом} называется интеграл, получаемый из общего при частном значении произвольных постоянных. Впрочем, часто, допуская известную вольность, общим интегралом называют просто любой интеграл, зависящий от $n$ произвольных констант.

Интеграл вида

$\psi (x,\,y)=0$

называется {\em особым}, если он не получается из общего ни при каких частных значениях постоянных; аналогично, решение

$y=\phi (x)$

называется особым, если оно не получается из общего ни при каких частных значениях постоянных. На то, что такие особые интегралы существуют, указывает следующий пример.

\begin{example}[{\r Клеро}, 1736\footnote{{\r Clairaut~A.C.} M\'em. Ac. Paris, 1736. На существование особых интегралов впервые было указано в <<Методе приращений>> {\r Б. Тейлора} [Meth. increm. Londres, 1715, p. 9-14].}]

$y=xy'+{y'}^{2}$

Это --- дифференциальное уравнение 1-го порядка; ему можно удовлетворить, положив

$y=Cx+C^{2},$

где "C" --- произвольное постоянное. Действительно, подставляя "y' = C", получаем

$Cx+C^{2}=Cx+C^{2}$

то есть тождество. Итак,

$y=Cx+C^{2},$

есть решение данного дифференциального уравнения. %/* Докажем, что оно действительно общее. Для интеграла

$\Phi (x,y,C)=y-Cx-C^{2}=0$

система \eqref{A} имеет вид

$\left\{{\begin{array}{l}{y-Cx-C^{2}=0}\\{y'-C=0}\\\end{array}}\right.$

Исключая из нее "C", имеем

$y-y'x-{y'}^{2}=0,$

то есть исходное уравнение. Значит, в соответствии с нашим определением, "y=Cx+C^2" --- общее решение уравнения "y=xy'+{y'}^2". %*/

Из него получаются все частные решения, например, положим "C=0", получаем "y = x+1" --- одно из частных решений. Легко видеть, что уравнение допускает еще одно решение

$y=-{\frac {x^{2}}{4}}$

Проверим:

$y'=-{\frac {x}{2}},\quad -{\frac {x^{2}}{4}}=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{2}}{4}}$

получается тождество. Таким образом, найдено еще одно решение. Легко видеть, что это новое решение не получается из общего ни при каком частном значении постоянного "C", так как общее линейно относительно "x", а полученное --- "2"-ой степени; следовательно, это решение --- особое. \end{example}

{\r Эйлер} не скрывал своего удивления тем, что общий интеграл не всегда оказывается ``общим: << \dots если интегральное уравнение [общий интеграл дифференциального уравнения, в нашей терминологии], найденное по точным правилам, не в состоянии охватить дифференциальное уравнение, то проблема допускает решения, которые совершенно не могут быть получены интегрированием, и, следовательно, приводят к несовершенному решению, что представляется, без сомнения, опрокидывающим обычные понятия интегрального исчисления>>\footnote{{\r Euler L.} Opera omnima, series I, v. 22, p. 230; цит. по ИМ-2.}.

Мы уклонимся от обсуждения существования общего интеграла, оставив его до главы 3, а пока будем считать, что все рассматриваемые уравнения имеют интеграл вида \eqref{5eq1} и что функция "\Phi" зависит от констант достаточно простым образом, например, алгебраически. Такое предположение вполне уместно, поскольку нас ближайшее время будет занимать интегрирование уравнений, а все известные проинтегрированные уравнения таковы, что всегда можно подобрать константы так, чтобы решение зависело от них алгебраически, и снимает с нас необходимость пояснять возможность исключения в системе \eqref{A} констант "C_1, \dots C_n". %\footnote{Небезынтересно отметить, что и наоборот, уравнения, %решения которых зависят от констант алгебраически могут быть %проинтегрированы при помощи трансцендент, которые уже были изучены %при интегрировании алгебраических функций. [{\r Painlev\'e P.} %Le\c{c}on sur la theorie analytique des equations differentielles. %Paris, 1897. = {\OE}vres. T. 1. Paris, 1971]}

%%% \begin{Anm}[\r Г. Энештрем] Тот факт, что интегрирование дифференциального уравнения первого порядка вводит произвольную константу, был известен уже к концу 17 века, но аналитики конца 17-го - начала 18 веков не предавали ему особого значения и порой забывали об этом. Так {\r И. Бернулли}\footnote{Письмо к Эйлеру, датированное 9 января 1728, Bibl. Math. (3) 4 (1903), p. 352} обосновывал соотношение "\mbox{log} (-z) = \mbox{log}(z)" тем, что

$d{\mbox{log}}(-z)={\frac {d(-z)}{-z}}={\frac {dz}{z}}=d{\mbox{log}}(z).$

Первые из рассмотренных дифференциальных уравнений порядка "n>1" были проинтегрированы путем сведения к дифференциальным уравнениям первого порядка; при этом не уделяли внимания числу произвольных констант, содержащихся в их в общем решении. При изучении уравнения "y^{(n)}=f(x)" Ньютон между тем заметил, что к общему решению этого уравнения следует прибавить еще произвольный полином степени "n-1", "n"-ая производная от которого равна нулю. В <<Методе приращений>> {\r Б.~Тейлора}\footnote{{\r Teylor B.} Meth. increm. Londres, 1715, p. 9-14} было изучено число условий, которым может быть подчинен интеграл системы дифференциальных уравнений. Только в 1739-1740 {\r Эйлер}\footnote{Письма к И. Бернулли, датированные 15 сентября 1739 и 19 января 1740; Bibl. Math. (3) 6 (1905), p. 38.47} недвусмысленно заметил, что по природе самого интегрирования общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка содержит четыре произвольные константы и наоборот, решение дифференциального уравнения четвертого порядка, содержащее четыре произвольные константы, является общим интегралом. \end{Anm}

\section{Метод исключения постоянных.}

Заметим, что выше между прочим мы нашли способ, при помощи которого для любого семейства кривых "\Phi(x,y,C_1, \dots, C_n)=0" можно построить дифференциальное уравнение, которому оно удовлетворяет. Именно, для этого надо составить систему \eqref{A} и исключить из нее "C_1, \dots C_n". Этот метод называют \emph{методом исключения постоянных} и весьма полезен при исследовании свойств таких семейств кривых.

Мы видели, что исключением "n" постоянных из соотношения \eqref{5eq1} получаем, вообще говоря, дифференциальное уравнение "n"-го порядка. Само исключение можно вести так: возьмем первые из "n" уравнений системы \eqref{A}, то есть систему \begin{equation} \label{B} \left \{ {\begin{array}{l} {\Phi (x, \, y, \, C_1, \, C_2, \dots C_n) =0} \\ {\frac{\partial \Phi}{\partial x} + \frac{\partial \Phi}{\partial y}

  y' =0} \\

{\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + 2

  \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \, \partial y}y' +
  \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} {y'}^2 +
  \frac{\partial \Phi}{\partial y}y =0} \\

{\dots } \\ {\frac{\partial^{n-1} \Phi}{\partial x^{n-1}} + \frac{n- 1}{1}

  \frac{\partial^{n-1} \Phi}{\partial x^{n-2} \, \partial

y}y' +

  \dots +
  \frac{\partial \Phi}{\partial y}y^{(n-1)} =0} \\

\end{array}} \right . \end{equation} Из нее определим $C_{1},\,C_{2},\dots C_{n}$ как функции от $x,\,y,\,y',\dots y^{(n)}$ и подставим в последнее уравнение системы \eqref{A}; тогда и придем к уравнению \eqref{6eq2}. Может, однако, случиться, что все постоянные $C_{1},\,C_{2},\dots C_{n}$ исключаться из меньшего числа уравнений так, что их невозможно определить из системы \eqref{B}. Если все они исключаются из системы \eqref{B}, то в результате получим уравнение $(n-1)$-го порядка; если же они исключаются из первых $(n-1)$, $(n-2)$, $\dots$ уравнений системы \eqref{A}, то соответственно получаем дифференциальное уравнение $(n-1)$-го, $(n-2)$-го и т. д. порядков. Во всех этих случаях говорят, что $n$ постоянных в соотношении \eqref{5eq1} {\em зависимы} (или несущественны); они называются {\em независимыми}, если в результате исключения получаем дифференциальное уравнение $n$-го порядка, то есть если $C_{1},\,C_{2},\dots C_{n}$ получаются из системы \eqref{B}.

%/* При нашем определении понятия общего интеграла, выражение $\Phi (x,y,C_{1},\dots ,C_{n})=0$ будет общим интегралом дифференциального уравнения $n$-го порядка, только если оно содержит $n$ независимых произвольных постоянных, поскольку соотношение вида \eqref{5eq1} называется общим интегралом уравнения \eqref{6eq2}, если это последнее получается исключением $n$ постоянных из системы \eqref{A}. %*/

\begin{example} Рассмотрим на плоскости кривые 2-го порядка, отнесенные к декартовым координатам. В уравнение \begin{equation} \label{8eq4} a_{11}x² + 2 a_{12} xy + a_{22} y² + 2 a_{13} x + 2 a_{23} y + a_{33} = 0 \end{equation} входит $5$ независимых произвольных постоянных, которые исключим дифференцированием. Для этого разрешим уравнение относительно $y$, получаем

$y=\alpha x+\beta \pm {\sqrt {Ax^{2}+2Bx+C}},$

где $\alpha ,\,\beta ,\,A,\,B,\,C$ составлены из коэффициентов данного уравнения и, следовательно, тоже произвольные постоянные. Дифференцируем:

$y'=\alpha \pm {\frac {Ax+B}{\sqrt {Ax^{2}+2Bx+C}}};$

$y''=\pm {\frac {A}{\sqrt {Ax^{2}+2Bx+C}}}\mp {\frac {(Ax+B)^{2}}{(Ax^{2}+2Bx+C)^{\frac {3}{2}}}}=\pm {\frac {AC-B^{2}}{(Ax^{2}+2Bx+C)^{\frac {3}{2}}}}$

Возведем $y''$ в степень $-{\frac {2}{3}}$:

${y''}^{-{\frac {2}{3}}}={\frac {Ax^{2}+2Bx+C}{(AC-B^{2})^{\frac {2}{3}}}}$

Продифференцировав 3 раза, мы получаем в результате нуль:

${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{y''}^{-{\frac {2}{3}}}=0$

Выполняя выкладки, получаем дифференциальное уравнение \begin{equation} \label{9eq5} 40 {y}³ — 45 y y y^{(4)} + 9 {y}² y^{(5)} =0 \end{equation} Это уравнение 5-го порядка; его общий интеграл есть уравнение \eqref{8eq4} конического сечения.\footnote{Это уравнение является основной для вывода закона всемирного тяготения из законов Кеплера, данного {\r Альфеном} (см. {\r Аппель П.} Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle Механика} ).} Если бы из совокупности этих кривых мы выделили только параболы, то для них оказалось бы $A=0$, и тогда имели бы

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{y''}^{-{\frac {2}{3}}}=0$

и, следовательно, дифференциальное уравнение парабол имеет вид: \begin{equation} \label{9eq6} 5 {y'}² — 3 y y^{(4)} = 0 \end{equation} Это — дифференциальное уравнение 4-го порядка. Все решения, найденные для дифференциального уравнения \eqref{9eq6} суть также и решения \eqref{9eq5}. \end{example}

\begin{example} \begin{equation} \label{10eq7} y= C_1 e^{x+C_2} \end{equation} Имеем здесь 2 произвольные постоянные. Дифференцируя уравнение два раза, получим

\begin{equation}

\label{10eq8} y'= C_1 e^{x+C_2}, \end{equation} \begin{equation} \label{10eq9} y= C_1 e^{x+C_2}. \end{equation} Общий прием исключения состоит в том, чтобы определить $C_{1}$ и $C_{2}$ из \eqref{10eq7}-\eqref{10eq8} и подставить их в уравнение \eqref{10eq9}, но здесь это определение невозможно, и следовательно, и $C_{1}$ и $C_{2}$ исключаются из уравнений \eqref{10eq7}-\eqref{10eq8}: деля \eqref{10eq7} на \eqref{10eq8} почленно, получаем \begin{equation} \label{10eq10} \frac{y}{y'}= 1, \quad \mbox{или} \quad y =y' \end{equation} Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка, а не 2- го, как мы могли бы ожидать. Отсюда заключаем, что постоянные $C_{1}$ и $C_{2}$ в уравнении \eqref{10eq7} — зависимые. Не трудно заметить, что они входят в одной комбинации:

$y=C_{1}e^{C_{2}}e^{x},$

полагая

$C_{1}e^{C_{2}}=C,$

имеем

$y=Ce^{x}$

Следовательно, мы имеем только одно существенное постоянное $C$ и общее решение уравнения \eqref{10eq10} — $y=Ce^{x}$. \end{example}

Разберем более сложный пример:

\begin{example}

$y^{2}=2axy+bx^{2}$

где $a$ и $b$ — два произвольных постоянных и, как видно, они не входят в какой-нибудь одной комбинации. Дифференцируем два раза

$yy'=axy'+ay+bx,$

%10 страница.

$yy''+{y'}^{2}=axy''+2ay'+b.$

Следовало бы из первых двух равенств определить $a$ и $b$ и подставить в последнее. Но из первых двух равенств $a$ и $b$ исключаются и получается уравнение свободное от $a$ и $b$. Действительно, из первого уравнения

$y(y-ax)=x(ay+bx)$

из второго

$y'(y-ax)=ay+bx$

Делим 1-ое на второе, получаем

${\frac {y}{y'}}=x,\quad {\mbox{или}}\quad y=xy'$

Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка. Исключенных постоянных 2. Следовательно, эти постоянные зависимы. Данное уравнение можно еще представить в виде:

${\frac {y^{2}}{x^{2}}}-2a{\frac {y}{x}}-b=0$

отсюда

${\frac {y}{x}}=k_{1},\quad {\mbox{или}}\quad {\frac {y}{x}}=k_{1},$

где

$k_{1}=a+{\sqrt {a^{2}+b}},\quad k_{2}=a-{\sqrt {a^{2}+b}}$

Иными словами,

$y=k_{1}x,\quad {\mbox{или}}\quad y=k_{2}x$

Дифференцируя по $x$, находим

$y'=k_{1},\quad {\mbox{или}}\quad y'=k_{2}$

Следовательно, в том и в другом предположении $y=xy'$ будет искомое дифференциальное уравнение, и мы видим, что $a$ и $b$ приходится исключать только в одной комбинации $k_{1}$ или $k_{2}$. \end{example}

\section{Задача с начальными условиями.} Если нам дано дифференциальное уравнение:

$F(x,\,y,\,y',\,y'',\dots y^{(n)})=0$

и мы нашли общий интеграл

$\Phi (x,\,y,\,C_{1},\,C_{2},\dots C_{n})=0,$

то мы вполне определим постоянные, если нам даны для какого-нибудь определенного численного значения $x=x_{0}$ значения $y$ и производных до $(n-1)$-го порядка:

$y=y_{0},\;y'={y'}_{0},\dots y^{(n-1)}=y_{0}^{(n-1)}$

В самом деле, наряду с соотношением $\Phi (x,\,y,\,C_{1},\,C_{2},\dots C_{n})=0$ рассмотрим те, которые получаются дифференцированием по $x$:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\Abgp»): {\displaystyle \Phi = 0, \quad \Abgp{\Phi}{x}+ \Abgp{\Phi}{y} y' = 0, \quad \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}+ \dots =0, }

то есть систему \eqref{B} и в этой системе заменим $x$ через $x_{0}$, а следовательно, положим

$y=y_{0},\;y'={y'}_{0},\dots y^{(n-1)}=y_{0}^{(n-1)}$

Получим $n$ уравнений, из которых найдем " C_1, \, C_2, \dots C_n ", то есть определенные численные значения постоянных. Заменив их в общем интеграле, мы найдем определяемый интеграл. Итак, решение дифференциального уравнений определяется начальными условиями:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mbox{при "x=x_0": } y=y_0, \; y'={y'}_0, \dots y^{(n- 1)} = y^{(n-1)}_0 }

\begin{example} Дифференциальному уравнению

$y''=y$

удовлетворяет

$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}$

Действительно, дифференцируя, имеем:

$y'=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x},\quad y''=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},$

то есть $y''=y$. Следовательно, %13 страница.

$y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}$

есть общее решение. Пусть теперь при $x=0$ $y=2$, а $y'=0$. Это данные начальные условия; подставляя $x=0$, $y=2$, $y'=0$, найдем

$2=C_{1}+C_{2},\quad 0=C_{1}-C_{2}.$

Отсюда

$C_{1}=1\quad {\mbox{и}}\quad C_{2}=1$

Наше частное решение будет

$y=e^{x}+e^{-x}.$

\end{example}

Примечания редактора

1. Исторически первым возник термин интеграл, который использовал И. Бернулли (J. Bernulli) в своих «Математических лекциях о методе интегралов и других вопросах» (1691—1692), явившихся первым систематическим курсом теории дифференциальных уравнений. Само название связано с тем, что по-началу казалось, что всякое дифференциальное уравнение любого порядка может быть сведено к одной или нескольким квадратурам, а теория дифференциальных уравнений — лишь раздел интегрального исчисления. Термин решение был введен Лагранжем (Lagrange, 1774), но вошел во всеобщее употребление, главным образом, благодаря Пуанкаре (Poincare).