БСЭ1/Эйлеровы углы

Эйлеровы углы
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Э — Электрофон. Источник: т. LXIII (1933): Э — Электрофон, стлб. 149—150 ( РГБ )

ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ, три угла ψ, φ и θ (рис.), которыми определяется относительное положение двух прямоугольных систем координатных осей с общим началом в точке О. Э. у. широко применяются в механике и аналитической геометрии (см.) во всех случаях, где возникает необходимость перейти от одной системы пространственных прямоугольных координат к другой с тем же началом. Обычные формулы такого перехода содержат девять величин: a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃, представляющих собой косинусы углов между осями первой и второй систем координат. Эти 9 величин не независимы, а связаны шестью соотношениями, выражающими взаимную перпендикулярность каждых двух осей одной и той же системы координат, следовательно они могут быть выражены через посредство трех из этих величин или трех вспомогательных величин, в качестве которых очень удобно брать именно Э. у.

Геометрически Э. у. определяются так: угол ψ есть угол между осью X₁ и пересечением OY₂, плоскостей XY и X₁Y₁; угол φ измеряет в плоскости OXY угол между OY₂ и OX; угол θ определяет наклон плоскостей XOY и X₁OY₁, т. е. угол между осями OZ и OZ₁. — Формулы перехода от системы координат х, у, z к системе х₁, у₁, z₁ таковы:

$x_{1}=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z$

$y_{1}=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z$

${\color {red}x_{1}}=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z$

^{[ВТ 1]}

Величины a₁₁, a₁₂, …, a₃₃ связаны с Э. у. соотношениями:

$a_{11}=\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi \cos \theta ;~~~a_{12}=-\sin \varphi \cos \psi -\cos \varphi \sin \psi \cos \theta ;~~~a_{13}=\sin \psi \sin \theta ;$

$a_{21}=\cos \varphi \sin \psi +\sin \varphi \cos \theta ;~~~a_{22}=-\sin \varphi \sin \psi +\cos \varphi \cos \psi \cos \theta ;~~~a_{23}=-\cos \psi \sin \theta ;$

$a_{31}=\sin \varphi \sin \theta ;~~~a_{32}=\cos \varphi \sin \theta ;~~~a_{33}=\cos \theta ;$

Примечания редакторов Викитеки

1. Видимо, в третьей строке должно быть не x₁, а z₁