БСЭ1/Частная производная

Частная производная
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Ч — Шахт. Источник: т. LXI (1934): Ч — Шахт, стлб. 85—86 ( РГБ )

ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, производная (см.) функции от нескольких переменных, получаемая в предположении, что все независимые переменные, кроме одной, не изменяются. Если имеем функцию f(x, у, z…), то Ч. п. от нее по переменной х обозначается f_x или ${\frac {\partial f}{dx}}$. Так. обр.

$f_{x}={\frac {\partial x}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h{\text{,}}~~y{\text{,}}~~z{\text{…}})-f(x{\text{,}}~~y{\text{,}}~~z{\text{…}})}{h}}$

Аналогично определяются и частные производные высших порядков:

${\frac {\partial }{dx}}\left({\frac {\partial f}{dx}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}$ ${\frac {\partial }{dy}}\left({\frac {\partial f}{dx}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=f_{xy}{\text{;}}~~{\frac {\partial }{dx}}\left({\frac {\partial f}{dy}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=f_{yx}~~{\text{и т. д.}}$

Если все получающиеся производные непрерывны в некоторой области, то в этой области можно изменять порядок дифференцирования, т. е. например f_xy = f_yx, f_xyy = f_yxy = f_yyx и т. п. Ч. п. имеют чрезвычайно обширные и важные применения в различных приложениях математики к проблемам физики и техники.