БСЭ1/Модулярные функции

Модулярные функции
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Мерави — Момоты. Источник: т. XXXIX (1938): Мерави — Момоты, стлб. 617—618 ( РГБ )

МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ, аналитич. функции, значения к-рых не меняются, если значение аргумента $x$ заменить значением ${\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }},$ где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ — целые числа, такие, что $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. Частным случаем М. ф. являются периодические функции (см.) (напр., функция $\sin \,\pi x$, значения которой не меняются, если $x$ заменить через $x+n$. где $n$ — любое целое число; здесь $\alpha =\delta =1,\beta =n,\gamma =0$). В свою очередь М. ф. являются частным случаем автоморфных функций.

Важнейшие М. ф. связаны с эллиптич. функциями, почему и называются эллиптическими М. ф. (термин принадлежит Дедекинду). Так, рассматривая коэффициенты $g_{2}$ и $g_{3}$ в дифференциальном уравнении $\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}=4y^{3}-g_{2}y-g_{3}$ (к-рому удовлетворяет эллиптич. функция $y=px$ Вейерштрасса) как функции периодов $\omega$ и $\omega '$ функции $px$, образуем отношение: ${\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}.$ Можно показать, что это отношение зависит лишь от отношения периодов $\tau ={\frac {\omega '}{\omega }}$ и является модулярной функцией $\tau$. Последняя функция называется абсолютным инвариантом (Клейн) и обозначается через $I(\tau )$. Она играет важную роль в теории эллиптических функций; в частности, при ее помощи решается задача нахождения периодов $\omega$ и $\omega '$ по заданным $g_{2}$ и $g_{3}$. Другой важной М. ф. является функция $\kappa ^{2}(\tau )=\lambda (\tau )={\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}},$ где $e_{1},e_{2}$ и $e_{3}$ — корни кубичного уравнения $4y^{3}-g_{2}y-g_{3}=0$. Функция $I(\tau )$ дает конформное отображение (см.) заштрихованной на рис. области на полуплоскость. Функция $I(\tau )$ рационально выражается через $\kappa ^{2}(\tau ):~I(\tau )={\frac {4(x^{4}-x^{2}+1)^{3}}{27x^{4}(1-x^{2})^{2}}}.$ Посредством обратной модулярной функции Пикар доказал свою «большую» теорему.

Лит.: Гурвиц А., Теория аналитических и эллиптических функций, пер. с 3 нем. изд., Л. — М., 1933; Курант Р., Геометрическая теория функций комплексной переменной, пер. с 3 нем. изд., Л. — М., 1934; Форд Л. Р., Автоморфные функции, перевод с англ., М. — Л., 1936; Klein F., Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, ausgearb. u. vervollständigt v. R. Tricke, Bd I — II, Lpz., 1890—92.