МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ (мат.), обширный и важный класс аналитических функций, представляющий естественное обобщение рациональных функций. М. ф. определяется как отношение двух степенных рядов, сходящихся при любом значении аргумента. В частном случае эти ряды могут сводиться к многочленам, и тогда получается рациональная функция. М. ф., не являющиеся рациональными функциями, называются трансцендентными М. ф. Пример такой функции представляет , так как эту функцию можно рассматривать, как отношение двух степенных рядов (для косинуса и синуса). Трансцендентными М. ф. являются также , эллиптические функции, гамма-функция и др. Многие свойства рациональных функций распространяются и на трансцендентные М. ф. Так, напр., степенные ряды, стоящие в числителе и знаменателе М. ф., могут быть разложены на множители, выявляющие все те значения функции, при к-рых она обращается в ноли (ноли функции), и все те значения, при к-рых она обращается в бесконечность (полюсы функции). М. ф. могут быть представлены, подобно рациональным функциям, в виде суммы простейших (рациональных) дробей. Так, напр.,
To свойство рациональной функции, по которому она любое значение принимает одинаково часто (например, многочлен каждое значение принимает столько раз, какова его степень), также с надлежащими изменениями распространяется на М. ф. При этом могут быть лишь сравнительно немногие, т. н. исключительные, значения, которые функция принимает реже, чем остальные. Особый интерес представляют значения, совсем не принимаемые функцией, — пикаровские исключительные значения (напр., 0 и 1 для функции . Никакая М. ф. не может иметь более двух пикаровских исключительных значений (теорема Пикара).
В конечной части плоскости М. ф. не могут иметь других особых точек, кроме полюсов. Это свойство берется обычно за определение М. ф. Если и бесконечно удаленная точка является полюсом или правильной точкой функции, то функция необходимо рациональна. Для трансцендентной М. ф. бесконечно удаленная точка является или изолированной, существенно особой точкой или точкой, предельной для полюсов. Когда полюсы в конечной части отсутствуют, М. ф. обращается в целую функцию.
Лит.: Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 4 изд., М. — Л., 1935; Гурса Э., Курс математического анализа, пер. с франц., 3 изд., т. II, М. — Л., 1936; Nevanlinna В., Eindeutige analytische Funktionen, В., 1936.