БСЭ1/Менье теорема

Менье теорема
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Маммилярия — Мера стоимости. Источник: т. XXXVIII (1938): Маммилярия — Мера стоимости, стлб. 814 ( РГБ )

МЕНЬЕ ТЕОРЕМА, полезна при изучении кривизны плоских кривых, получаемых в результате пересечения кривой поверхности различными плоскостями (см. Кривизна). Пусть через точку, взятую на поверхности, проведена к этой поверхности какая-нибудь касательная прямая, а через последнюю — всевозможные плоскости, пересекающие поверхность по кривым (C). Теорема М. утверждает: если для каждой из кривых C построим ее круг кривизны, то все эти круги окажутся лежащими на одной и той же сфере (теорема неприменима только в том случае, когда участвующая в построении касательная совпадает с одним из т. н. асимптотических направлений поверхности). Если среди кривых C выделим ту кривую, плоскость которой проходит через нормаль к поверхности, назовем эту кривую нормальным сечением, а все остальные — наклонными сечениями, то теорема может быть формулирована еще так: чтобы построить центр кривизны наклонного сечения, достаточно спроектировать (ортогонально) центр кривизны соответствующего нормального сечения на плоскость наклонного (содержание теоремы легко иллюстрировать на примере сферы). Радиус кривизны ($\rho$) наклонного сечения связан с радиусом кривизны ($R$) нормального сечения соотношением $\rho =R\cos \,\theta$, где $\theta$ — угол между плоскостями обоих сечений.