БСЭ1/Маятник

 См. также одноимённые страницы.

Маятник
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Маммилярия — Мера стоимости. Источник: т. XXXVIII (1938): Маммилярия — Мера стоимости, стлб. 555—557 ( РГБ )

МАЯТНИК, твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, не совпадающую с центром тяжести тела, и потому способное совершать колебания вокруг этой точки. Наиболее простое движение маятник совершает в том случае, когда расстояние от всех точек тела до неподвижной точки (точки подвеса) велико по сравнению с размерами самого тела. Это имеет место, напр., в том случае, когда массивное тело небольших размеров подвешено на длинной нити или на стержне, масса к-рых мала по сравнению с массой тела (рис. 1). Тогда подвешенное тело можно рассматривать как материальную точку. Такой М. носит название математического М. Когда размеры тела сравнимы с расстояниями до точки подвеса, это упрощение невозможно, и движение маятника приходится рассматривать как движение твердого тела. В этом случае маятник называют физическим (рис. 2).

Математический М. Когда М. совершает плоское движение, он носит название плоского М. Для получения плоского движения необходимо, чтобы начальная скорость, сообщенная М., лежала в плоскости его начального отклонения (в частности М. может иметь только начальное отклонение или только начальную скорость). При рассмотрении движения обычно можно считать нить или стержень, на к-рых подвешен М., нерастяжимыми, т. е. считать, что движение М. происходит по дуге круга. В таком случае положение М. определяется одной координатой, напр., углом $\varphi$, на к-рый М. отклонен от положения равновесия (рис. 1). Уравнение движения М. получим, составляя уравнение моментов относительно неподвижной точки (трением и сопротивлением среды пренебрегаем):

$ml^{2}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-mglsin\varphi$ ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {q}{l}}\sin \,\varphi =0$.   (1)^{[ВТ 1]}Это уравнение нелинейное. Оно приводит к эллиптическому интегралу для выражения периода колебаний М. Если отклонения М. малы, можно заменить синус углом, и тогда приближенное уравнение движения М. при малых отклонениях будет иметь вид: ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{3}}}+{\frac {g}{l}}\varphi =0$.   (2)^{[ВТ 2]}Это — уравнение гармонических колебаний с периодом $T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$.   (3)

Так как $\sin \,\varphi$ растет медленнее, чем $\varphi$, то при увеличении отклонений восстанавливающая сила будет расти медленнее, чем по линейному закону. Поэтому период колебаний будет возрастать с увеличением амплитуды колебаний. Эта зависимость периода от амплитуды $\varphi _{o}$ учитывается следующей формулой, к к-рой приводит уравнение (1)

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin \,^{2}{\frac {\varphi _{o}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin \,^{4}{\frac {\varphi _{o}}{2}}+...\right\}$. (4)По сравнению с приближенной формулой (3) поправка составляет около 0,05% при $\varphi _{o}=5^{\circ }$. Поэтому на практике почти всегда (за исключением случаев, когда нужна очень большая точность) пользуются приближенной формулой (3). Если начальная скорость М. не лежит в плоскости начального отклонения, то движение М. уже не будет плоским. М. будет описывать эллипсоподобные траектории на сферической поверхности. В этом случае М. принято называть сферическим.

Физический М. Наиболее простым является случай плоского движения, т. е. вращения М. вокруг неподвижной оси. Положение М. и в этом случае можно задать одним углом отклонения $\varphi$ от начального положения какой-либо прямой, неподвижно связанной с М. Удобнее всего брать прямую, проходящую через ось вращения $O$ и центр тяжести $C$ и потому вертикальную в покоящемся маятнике (рис. 2). Уравнение движения М. в этом случае имеет такой вид:

$I{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{3}}}=-Mgl\sin \,\varphi$,^{[ВТ 3]}где $I$ — момент инерции маятника относительно оси вращения, а $l$ — расстояние от оси вращения до точки приложения восстанавливающей силы, т. е. до центра тяжести, $M$ — масса маятника. Если амплитуды колебаний малы, то $\sin \,\varphi$ можно заменить через $\varphi$, и уравнение движения физического М. принимает вид: $I{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+Mgl\varphi =0$.   (5) Это — уравнение гармонических колебаний с периодом $T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{Mgl}}}$ Следовательно, период колебаний физического М. совпадает с периодом колебаний такого математического М., к-рый имеет длину $l_{o}={\frac {I}{Ml}}$.Эта длина называется «приведенной длиной» данного физич. М. (см. Циклоида, Фуко маятник).

Применения М. Общеизвестно применение М. в часах. Роль М. в часах состоит в том, что период колебаний М. служит единицей времени, а весь остальной механизм служит лишь счетчиком числа колебаний М. Однако колебания М. затухают, и часовой механизм должен его подталкивать для поддержания колебаний. Эти толчки нарушают период колебаний М. и вместе с тем понижают точность часов. В точных часах величина и момент толчка выбираются таким образом, чтобы эти нарушения периода колебаний были по возможности малы. Чтобы устранить влияния температуры на длину М., а вместе с тем и на период его колебаний, в точных часах применяются М. из сплавов с малым температурным коэффициентом расширения и со специальной компенсацией длины [так наз. компенсационные маятники (см.)]. Маятниковые часы непригодны для движущихся экипажей, особенно тех, к-рые испытывают вертикальные ускорения (напр., морские суда в качке). Другое важное применение М. — определение ускорения силы тяжести в разных точках. Определяя по хронометру период колебаний М. в различных точках, можно судить об изменении ускорения силы тяжести от точки к точке.

Лит.: Хвольсон О. Д., Курс физики, т. I, 7 изд., Л. — М., 1933; Гримзель Э., Курс физики, т. I, вып. 1, М. — Л., 1933.

Примечания редакторов Викитеки

1. В формуле опечатка, должно быть: ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \,\varphi =0$.
2. В формуле опечатка, должно быть: ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\varphi =0$.
3. В формуле опечатка, должно быть: $I{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=-Mgl\sin \,\varphi$.