БСЭ1/Математическое ожидание

Математическое ожидание
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Маммилярия — Мера стоимости. Источник: т. XXXVIII (1938): Маммилярия — Мера стоимости, стлб. 415 ( РГБ )

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, важнейшая характеристика случайной величины. В простейшем случае, когда случайная величина $X$ может принимать лишь конечное число значений $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ с соответствующими вероятностями $p_{1},p_{2},...,p_{k}$, М. о. величины $X$ определяется формулой: $EX=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+...+x_{k}p_{k}$; при «непрерывных» распределениях, т. е., когда вероятность неравенства $x<X<x+dx$ при малом $dx$ определяется выражением $f(x)dx$, М. о. величины $X$ дается. формулой$EX=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,dx$(в предположении, что интеграл абсолютно сходится). Теоретическому понятию М. о. соответствует в практической статистике понятие среднего значения; если в совокупности из $n$ предметов, обладающих некоторым количественно измеримым признаком $X,n_{1}$ предметов имеют величину признака $x_{1},n_{2}$ предметов — величину $x_{2}$ и т. д., то — средним значением признака $X$ в данной совокупности называют величину ${\frac {x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}+...}{n}}$;очевидно, это есть просто среднее арифметическое величины признака $X$ для всех предметов данной совокупности; с другой стороны, если — отношения ${\frac {n_{i}}{n}}$, как этого требует закон больших чисел, близки к вероятностям соответствующих значений признака, то среднее значение признака $X$ в данной совокупности очевидно близко к его М. о. Этим свойством М. о. обусловлено его важное практическое значение. С формальной стороны М. о. как характеристика случайной величины обладает значительным удобством, главным образом благодаря следующим двум своим свойствам: 1) теорема сложения: М. о. суммы нескольких случайных величин равно сумме их М. о.; 2) теорема умножения: М. о. произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их М. о.

Лит.: Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 3 изд., М. — Л., 1934.