ЛЯПУНОВ, Александр Михайлович (1857—1918), выдающийся русский математик. Окончил Петербургский ун-т в 1880, с 1885 — 
доцент Харьковского ун-та, с 1892 там же — профессор, с 1901 — член Академии наук; умер в Одессе. Работы Л. относятся к проблеме устойчивости движения, к теории потенциала, к фигурам равновесия жидкой вращающейся массы и к теории вероятностей. В первом из этих направлений основной работой Ляпунова является докторская диссертация (1892) «Общая задача об устойчивости движения», опубликованная в Харькове, мало замеченная на Западе в момент выхода, а через 15 лет переведенная на французский язык, так как эти результаты еще никем не были вновь получены.
Здесь рассматривается система дифференциальных уравнений где функции непрерывно зависят от , при , и являются аналитическими функциями в некоторой области; некоторое решение системы предполагается известным (невозмущенное движение); исследуется вопрос об устойчивости решений, начальные значения которых при близки к известному решению (возмущенные движения); невозмущенное движение называется устойчивым, если для любых значений при достаточно малых начальных возмущениях координаты возмущенного движения в соответствующие моменты времени сколь угодно мало отличаются от координат невозмущенного движения.
Л. дал ряд критериев устойчивости и неустойчивости. Задача об устойчивости движения (и, в частности, состояния равновесия) ставилась в механике и раньше, еще со времени Лагранжа, но прежняя теория принимала во внимание лишь первое приближение, неправильно считая получаемый результат точным; Ляпунов (и одновременно Пуанкаре, впрочем с нек-рыми недочетами) дал теорию для точного разрешения вопроса об устойчивости. Методы Ляпунова в наст. время усовершенствуются в Союзе ССР рядом математиков. Проблема устойчивости движения имеет большое значение не только для механики, но и для других областей физики, в особенности для теории колебаний. В теории потенциала Л. впервые установил условия для существования производных от потенциалов двойного и простого слоя. — В теории вероятностей Ляпунов дал, при чрезвычайно широких допущениях, доказательства основной «предельной теоремы» этой теории (доказанной при более узких предположениях Марковым). Метод Л. столь значителен для этой области, что теорему эту называют иногда теоремой Ляпунова.
Ряд работ Л. по фигурам равновесия начался с 1903 и продолжался до самой его смерти. В этой области после Маклорена и Якоби, открывших фигуры равновесия — соответственно эллипсоиды вращения и трехосные, — имелись лишь исследования Пуанкаре, который, основываясь на уравнениях первого приближения, указал на возможность существования бесчисленного множества иных фигур равновесия однородной жидкости, кроме эллипсоидальных. Окончательно, однако, существование таких фигур (мало отличающихся от эллипсоидальных) установлено Ляпуновым. В дальнейшем Л. занимался исследованием фигур равновесия также в случае неоднородной вращающейся массы.' Работы Л. в этой области являются основоположными и до настоящего времени и имеют очень большое значение для астрономии.
Важнейшие соч. Л.: Общая задача об устойчивости движения (Диссертация и статьи), 2 изд., Л. — М., 1935 (приложен некролог, написанный акад. В. А. Стекловым); Sur les figures d’équilibre peu différentes des ellipsoides d’une masse liquide homogène douée d’un mouvement de rotation, partie 1—4, СПБ, 1906—14; Sur une proposition de la théorie des probabilités, СПБ, 1900 («Известия Академии наук», т. XIII, № 4); Nouvelle forme du théorème sur la limite de probabilité «Записки Академии наук по Физико-математич. отделению», серия VIII, СПБ, 1901, т. XII, № 5.
Лит.: [Некрологи, написанные акад. В. А. Стекловым и А. Н. Крыловым], «Известия Российской академии наук, серия VI, II., 1919, № 8—11; Ляпунов Б. М., Краткий очерк жизни и деятельности А. М. Ляпунова, «Известия Академии наук СССР», Отделение физико-математических наук, серия VII, Ленинград, 1930, № 1.