БСЭ1/Коллинеация

Коллинеация
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Классы — Конкуренция. Источник: т. XXXIII (1938): Классы — Конкуренция, стлб. 392—393 ( РГБ )

КОЛЛИНЕАЦИЯ, на плоскости — особый вид преобразования точек одной плоскости в точки другой плоскости или в другие точки той же самой плоскости. К. преобразует точки, лежащие на прямой, в точки, также лежащие на прямой. Частными видами К. являются перемещение фигуры в ее плоскости, увеличение или уменьшение ее, параллельное проектирование плоской фигуры, перспективное ее изображение. Самую общую форму К. получают, проектируя данную фигуру из произвольной точки вне ее плоскости на какую-либо другую плоскость. Если точки одной плоскости отнесены к Декартовой системе координат $x$, $y$, а точки другой плоскости — к системе $x_{1}$, $y_{1}$, то зависимость между координатами соответственных точек представляется формулами:

$x_{1}={\frac {a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{3}x+b_{3}y+c_{3}}},y_{1}={\frac {a_{2}x+b_{2}y+c_{2}}{a_{3}x+b_{3}y+c_{3}}},$

(1)

где $a_{1}$, $b_{1}$, $c_{1}$, $a_{2}$, $b_{2}$, $c_{2}$, $a_{3}$, $b_{3}$, $c_{3}$ — постоянные числа, определяющие К. В частности, если $a_{3}=b_{3}=0$, $c_{3}=1$, формулы принимают вид: $x_{1}=a_{a}x+b_{1}y+c_{1}$, $y_{1}=a_{2}x+b_{2}y+c_{2}$ и определяют особый вид К., называемый аффинным преобразованием (см.). Этот вид К. замечателен тем, что каждые две параллельные прямые переходят опять в прямые параллельные. Если К. производится в одной и той же плоскости, то формулы (1) устанавливают связь между координатами точки до и после К., причем эти координаты отсчитываются по отношению к одной и той же координатной системе. В этом случае на плоскости найдутся точки, совпадающие со своими соответственными; это т. н. двойные точки К. Таких точек на плоскости имеется в общем случае три (различные или совпадающие). Две из них могут быть мнимыми. Может представиться случай, когда двойными точками служат все точки некоторой прямой и, кроме того, имеется двойная точка вне этой прямой. В этом случае К. носит название гомологии. Чтобы установить К. геометрически, достаточно 4 произвольным точкам $A$, $B$, $C$, $D$, не лежащим по 3 на одной прямой, указать соответствующие им в этом преобразовании 4 точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $D_{1}$ также не лежащие по 3 на одной прямой.

К. в пространстве — преобразование одних точек пространства в другие. При К. в пространстве точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой, и точки, лежащие в одной плоскости, — в точки, также лежащие в одной плоскости. К. в пространстве устанавливаются пятью парами соответственных точек, не лежащих по 4 в одной плоскости. В общем случае К. в пространстве имеет 4 двойные точки.