БСЭ1/Д’Аламбера принцип

Д’Аламбера принцип
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Гурьевка — Дейки. Источник: т. XX (1930): Гурьевка — Дейки, стлб. 200—201 ( РГБ )

Д’АЛАМБЕРА ПРИНЦИП, метод приведения основных законов динамики к статике, данный впервые в «Traité de dynamique» Д’Аламбера в 1743. В своей первоначальной форме, для одной только материальной точки, Д. п. сводится к следующему: законы Ньютона для движения точки с массой $m$ под действием заданной силы $P$ (с компонентами $X,Y,Z$) в декартовых координатах выражаются уравнениями:

$-m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+X=0;~-m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+Y=0;~-m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+Z=0.$

Представим себе силу, имеющую компонентами $-m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\dots$ (т. е. равную ускорению точки, умноженному на $-m$); такую воображаемую силу называют «силой инерции». Вышеприведенные уравнения показывают, что заданная сила с составляющими $X,Y,Z$ в любой момент движения уравновешивается силой инерции

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},-m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},-m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$

При наличии системы из $n$ разных свободных материальных точек с массами $m_{1}\dots ,m_{n}$, испытывающих воздействие заданных сил $P_{1}\dots ,P_{n}$, уравнения движений могут быть соединены с помощью символов произвольных перемещений $\delta x_{r},\delta y_{r},\delta z_{r}$ в одно:

$\sum _{r}\left\{{\Bigl (}-m_{r}{\frac {d^{2}x_{r}}{dt^{2}}}+X_{r}{\Bigr )}\delta x_{r}+{\Bigl (}-m_{r}{\frac {d^{2}y_{r}}{dt^{2}}}+Y_{r}{\Bigr )}\delta y_{r}+{\Bigl (}-m_{r}{\frac {d^{2}z_{r}}{dt^{2}}}+Z_{r}{\Bigr )}\delta z_{r}\right\}=0,$

(1)

причем опять действующие силы оказываются уравновешенными с помощью введения сил инерции для всех точек системы. В таком виде Д. п. не дает еще ничего существенно нового по сравнению с основными законами динамики Ньютона. Но точки заданной системы могут быть и не свободными, а связанными какой-нибудь заданной системой условий для всех $\delta x_{r},\delta y_{r},\delta z_{r}$ одновременно; тогда в выписанном общем уравнении (1) можно было бы опасаться необходимости прибавления новых членов, зависящих именно от обобщенных условий задачи. Такие поправки к уравнению (1) оказались однако во всех проведенных с целью их изучения опытах совершенно излишними. Д. п. оказывается так. образом уже сам по себе, т. е. в виде уравнения (1), самым общим законом динамики, который конечно может быть выражен и в др. равнозначащих математических формах, принадлежащих уже позднейшим ученым (Лагранж, Гамильтон) (см. Динамика). Сумму силы $P_{i}$ и силы инерции, имеющую слагающими

$X_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}},Y_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}},Z_{i}-m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}},$

часто называют потерянной силой в точке $M_{i}.$ Д. п. сводится к тому, что для получения из уравнений статики уравнений динамики достаточно заменить действующую на каждую точку силу потерянной силой.