БСЭ1/Геодезическая кривизна

Геодезическая кривизна
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Гейльброн — Германия. Источник: т. XV (1929): Гейльброн — Германия, стлб. 290 ( РГБ )

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА, величина, являющаяся обобщением понятия кривизны (см.), определенного для плоской кривой, на случай кривой, лежащей на произвольной поверхности. Она определяется таким же построением с той лишь разницей, что роль прямой играет геодезическая линия (см.). Если $c$ (рис.) есть данная кривая (не плоская, а лежащая на нек-рой поверхности), а $g_{1}$ и $g_{2}$—две геодезические линии этой поверхности, касающиеся кривой $c$ в двух бесконечно близких точках $P_{1}$ и $P_{2}$, то Г. к. к точке $P$ есть частное ${\frac {d\tau }{ds}}$, где $d\tau$—бесконечно малый угол между линиями $g_{1}$ и $g_{2}$, а $ds$—длина дуги $PP_{1}$. Г. к. равна т. н. тангенциальной кривизне, т. е. кривизне проекции данной кривой на плоскость, касающуюся поверхности в точке $P$. Таким образом, Г. к. является мерой б. или м. сильного изгибания кривой по поверхности, подобно тому, как обычная кривизна служит мерой изгибания плоской кривой в ее плоскости. Г. к. является величиной, связанной лишь с самыми общими свойствами поверхности (коэффициентами, определяющими выражение элемента длины дуги на поверхности см. Дифференциальная геометрия, ). Поэтому при изгибании поверхности Г. к. всех лежащих на ней линий не меняется (теорема Миндинга). Г. к. равна нулю на всех геодезических линиях поверхности. Термин Г. к. введен Лиувиллем в 1850, хотя по существу с Г. к. был знаком еще Гаусс