БСЭ1/Гамма-функция

Гамма-функция
Большая советская энциклопедия (1-е издание)

Словник: Высшее — Гейлинкс. Источник: т. XIV (1929): Высшее — Гейлинкс, стлб. 493 ( РГБ )

ГАММА-ФУНКЦИЯ, одна из важнейших трансцендентных функций математического анализа, определяемая для положительных значений аргумента $s$ формулой:

$\Gamma (s)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}x^{s-1}\,dx$

где $e$—основание натуральных логарифмов. С помощью этого определения легко устанавливается для $s>1$ функциональное уравнение $\Gamma (s)=(s-1)\Gamma (s-1)$. Т. к. $\Gamma (1)=1$, то отсюда легко вывести, что для целого положительного аргумента: $\Gamma (n)=(n-1)!$ На этом основаны многочисленные применения функции $\Gamma$ в теории чисел. Другие замечательные соотношения, которым удовлетворяет функция $\Gamma$, таковы:

$\Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}$;   $\Gamma (s)\Gamma \left(s+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2s-1}}}\Gamma (2s)$.
Функция $\Gamma (s)$ от комплексного переменного однозначна, нигде не обращается в нуль и имеет полюсы в точках $s=0,-1,-2,-3,...$