отсѣкалъ это, была вся исчерпана. Разсѣкши наконецъ весь этотъ составъ по длинѣ надвое и серединами приладивъ тѣ отсѣки одинъ къ другому, въ видѣ буквы x, Богъ со-
теорію гармоніи, которая высоту тоновъ сводила къ простѣйшимъ математическимъ величинамъ и представляла такую близкую аналогію съ системою чиселъ, что гармонія и число сдѣлались для пиѳагорейцевъ понятіями почти тожественными. Количественныя отношенія, открытыя въ области звука, пиѳагорейцы перенесли потомъ и на все мірозданіе, положивъ, что планеты и другія небесныя тѣла, въ своемъ стройномъ движеніи, должны точно также представлять извѣстныя гармоническія сочетанія, которыя если не доступны нашему слуху, то постигаются умомъ. Такъ возникло извѣстное ученіе о гармоніи сферъ, которое принималъ, въ главныхъ его основаніяхъ, и Платонъ, и которое еще долго послѣ того поддерживалось философами. Дѣленіе, которому подвергается у него міровая душа, вытекаетъ прямо изъ этого ученія. Оно даетъ, какъ мы видимъ изъ текста, прежде всего такой рядъ чиселъ: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27. Изъ этихъ семи чиселъ пиѳагорейцы выводили всѣ основныя гармоническія сочетанія. Отношеніе 1 : 2, такъ же какъ слѣдующія за нимъ 2 : 4 и 4 : 8 представляетъ собою интервалъ октавы. Октава, въ отношеніи 2 : 4, распадается, какъ мы видимъ, на два интервала, 2 : 3 и 3 : 4, которые представляютъ собою: первый квинту, а второй кварту. Въ отношеніи 4 : 8 интервалъ 8 : 9 служитъ показателемъ отношенія между квинтой и квартой (3/2 : 4/3 = 9/8) и составляетъ, какъ сейчасъ увидимъ, одинъ тонъ. Отношеніе 9 : 27, или, въ сокращеніи, 1 : 3, состоитъ изъ сложнаго интервала октавы съ квинтой (1 : 2 : 3). Вся система дѣленія (1 : 27) обнимаетъ четыре октавы (1 : 2 : 4 : 8 : 16) и интервалъ 16 : 27, состоящій изъ квинты 16 : 24 (или 2 : 3) и одного тона 24 : 27 (или 8 : 9) и образующій такимъ образомъ сексту. — Подъ двухстепенными (διπλάσια) и трехстепенными (τριπλάσια) промежутками, о которыхъ говорится далѣе въ текстѣ, разумѣются интервалы двухъ геометрическихъ прогрессій, входящихъ въ приведенный выше семичленъ: потому что если мы возьмемъ числа этого семичлена черезъ одно, то различимъ въ немъ, дѣйствительно, при общемъ первомъ членѣ, двѣ отдѣльныя четырехчленныя прогрессіи (τετρακτύς): 1, 2, 4, 8 и 1, 3, 9, 27, которыя образуются — первая множителемъ 2, а вторая множителемъ 3. Интервалы этихъ прогрессій и восполняются далѣе гармоническими тонами. Это дѣлается такъ, что между каждыми двумя членами прогрессіи вставляются среднія пропорціональныя величины: ариѳметическая и такъ называемая гармоническая. Подъ именемъ средней гармонической разумѣется такая величина, которая образуетъ разность съ двумя другими, большею и меньшею, на пропорціонально одинаковыя ихъ доли (таково будетъ число b по отношенію къ числамъ a и c, если ab-a = cc-b, такъ что b = 2aca+c ). Среднія пропорціональныя числа двухъ первыхъ членовъ первой прогрессіи, 1 и 2, будутъ: ариѳметическое — 1½, гармоническое — 1⅓. Мы видимъ, что октава 1 : 2 дѣлится такимъ образомъ на три интервала 1 : 1⅓ : 1½ : 2, или, въ цѣлыхъ числахъ, 6 : 8 : 9 : 12, причемъ 6 : 9 и 8 : 12 сокращаясь въ 2 : 3, составляютъ квинты, а 6 : 8 и 9 : 12, или 3 : 4, — кварты, интервалъ же 8 : 9, какъ разность между квинтами и квартами, образуетъ одинъ тонъ. Въ послѣдовательномъ порядкѣ, получают-
отсекал это, была вся исчерпана. Рассекши наконец весь этот состав по длине надвое и серединами приладив те отсеки один к другому, в виде буквы x, Бог со-
——————
теорию гармонии, которая высоту тонов сводила к простейшим математическим величинам и представляла такую близкую аналогию с системою чисел, что гармония и число сделались для пифагорейцев понятиями почти тожественными. Количественные отношения, открытые в области звука, пифагорейцы перенесли потом и на всё мироздание, положив, что планеты и другие небесные тела, в своем стройном движении, должны точно также представлять известные гармонические сочетания, которые если не доступны нашему слуху, то постигаются умом. Так возникло известное учение о гармонии сфер, которое принимал, в главных его основаниях, и Платон, и которое еще долго после того поддерживалось философами. Деление, которому подвергается у него мировая душа, вытекает прямо из этого учения. Оно дает, как мы видим из текста, прежде всего такой ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27. Из этих семи чисел пифагорейцы выводили все основные гармонические сочетания. Отношение 1 : 2, так же как следующие за ним 2 : 4 и 4 : 8 представляет собою интервал октавы. Октава, в отношении 2 : 4, распадается, как мы видим, на два интервала, 2 : 3 и 3 : 4, которые представляют собою: первый квинту, а второй кварту. В отношении 4 : 8 интервал 8 : 9 служит показателем отношения между квинтой и квартой (3/2 : 4/3 = 9/8) и составляет, как сейчас увидим, один тон. Отношение 9 : 27, или, в сокращении, 1 : 3, состоит из сложного интервала октавы с квинтой (1 : 2 : 3). Вся система деления (1 : 27) обнимает четыре октавы (1 : 2 : 4 : 8 : 16) и интервал 16 : 27, состоящий из квинты 16 : 24 (или 2 : 3) и одного тона 24 : 27 (или 8 : 9) и образующий таким образом сексту. — Под двухстепенными (διπλάσια) и трехстепенными (τριπλάσια) промежутками, о которых говорится далее в тексте, разумеются интервалы двух геометрических прогрессий, входящих в приведенный выше семичлен: потому что если мы возьмем числа этого семичлена через одно, то различим в нём, действительно, при общем первом члене, две отдельные четырехчленные прогрессии (τετρακτύς): 1, 2, 4, 8 и 1, 3, 9, 27, которые образуются — первая множителем 2, а вторая множителем 3. Интервалы этих прогрессий и восполняются далее гармоническими тонами. Это делается так, что между каждыми двумя членами прогрессии вставляются средние пропорциональные величины: арифметическая и так называемая гармоническая. Под именем средней гармонической разумеется такая величина, которая образует разность с двумя другими, большею и меньшею, на пропорционально одинаковые их доли (таково будет число b по отношению к числам a и c, если ab-a = cc-b, так что b = 2aca+c ). Средние пропорциональные числа двух первых членов первой прогрессии, 1 и 2, будут: арифметическое — 1½, гармоническое — 1⅓. Мы видим, что октава 1 : 2 делится таким образом на три интервала 1 : 1⅓ : 1½ : 2, или, в целых числах, 6 : 8 : 9 : 12, причем 6 : 9 и 8 : 12 сокращаясь в 2 : 3, составляют квинты, а 6 : 8 и 9 : 12, или 3 : 4, — кварты, интервал же 8 : 9, как разность между квинтами и квартами, образует один тон. В последовательном порядке, получают-
