УРОКЪ ТРЕТІЙ.
О производныхъ функціяхъ одной перемѣнной.
Положимъ, что функція есть непрерывная между двумя данными предѣлами перемѣнной , и что сей перемѣнной дана величина содержащаяся между сими самыми предѣлами, то безконечно-малое приращеніе получаемое измѣняемымъ количествомъ, произведетъ безконечно же малое приращеніе самой функціи. Слѣдственно, полагая , числитель и знаменатель отношенія разностей
|
(1.) |
будутъ количества безконечно-малыя. Но, между тѣмъ какъ числитель и знаменатель будутъ безпрестанно и въ одно время приближаться къ нулю, самая дробь будетъ стремиться къ другому, или положительному, или отрицательному предѣлу. Сей предѣлъ, для каждой данной величины , имѣетъ опредѣленную же величину, которая впрочемъ измѣняется вмѣстѣ съ . Такъ, на примѣръ, полагая , гдѣ означаетъ цѣлое число, отношеніе безконечно-малыхъ разностей будетъ
а предѣлъ онаго количество , которое есть новая функція перемѣнной . Точно также и вообще; только видъ новой функціи, которая будетъ служить предѣломъ отношенію