ЭЛЕКТРИЧЕСТВОС помощью этих обозначений дифференциальные уравнения, эквивалентные интегральным уравнениям (I) — <IV) и (VI), записываются следующим образом: rot^=-l^, (Г)
div^ = 4^, (ИГ)
rotH=l^+^j,
divir=0, (IV')
div
(ID
. (VI')
Отметим еще раз, что уравнения (I) — (IV) и (VI) полностью эквивалентны уравнениям (Г) — (IV') и (VI'): из каждого интегрального уравнения однозначно вытекает справедливость соответствующего дифференциального уравнения и обратно.
Из этих уравнений непосредственно явствует,. что законы электродинамики носят характер законов близкодействия. Поле JbJ и Н в данной точке пространства Р и в данный момент времени t однозначно определяется плотностью и движением зарядов и напряженностью поля, относящимися к смежным cP точкам пространства и к смежным с t моментам времени, вне всякой непосредственной зависимости от состояния зарядов и поля в удаленных участках пространства или в предшествовавшие t отрезки времени. Ибо, сводной стороны, уравнения (I') — (IV') устанавливают однозначную связь между значениями, к-рыми обладают величины qиjи производные от Е и Н по координатам и по времени в данной точке Р в данный момент t; а с другой стороны, самые значения этих производных от Е и Н однозначно определяются значениями ЕиНв бесконечно-близких к Р точках в бесконечно-близкие Kt моменты времени.
Скорость распространения поля и запаздывающие потенциалы* Уравнения поля, об ладая характером законов близкодействия, вместе с тем могут быть рассмотрены и с несколько иной точки зрения. В предыдущем неоднократно подчеркивалось, что электрическое поле может возбуждаться не только непосредственно зарядами, но и изменениями поля магнитного, и обратно. Однако вконеч ном счете источниками электромагнитного поля являются только заряды и их движение (токи проводимости, а не токи смещения). Другими словами, уравнения (Г) — (IV') можно преобразовать так, чтобы поле в любой точке пространства определялось только распределением и движением зарядов. Однако при этом сказывается то обстоятельство, что действие зарядов и токов распространяется не мгновенно, а с конечной скоростью с. Поэтому поле в данной точке Р в момент t определяется не мгновенным распределением и движением зарядов в тот же момент t и в той же точке Р, а распределением и движением зарядов во всем пространстве в предшествующие t моменты времени.
Результат такого преобразования выражается наиболее просто, если ввести в рассмотрение две вспомогательных величины — т. н. скалярный и векторный запаздывающие потенциалы электромагнитного поля <р л А. С помощью этих величин напряженности поля Е и Н выражаются следующим образом: ч ' 1 ОА — grad <р-----с dt (36) IT=rot А где grad <р есть градиент (см.) скаляра <р.
•С другой стороны, ф и А следующим образом выражается через плотность зарядов и токов q и J:
г44)
=J
XR
' dV;
lf44) д ' - -
dV, (37)где объемные интегралы должны быть распространены по всему бесконечному пространству. Смысл этих выражений таков. Чтобы определить напр. значение ч> в точке Р в момент t, нужно для каждого элемента пространства dV вы — 44)
числить произведение — dV, где R есть расстояние
этого элемента от рассматриваемой точки поля Р, ае 11 - — I есть значение плотности Э., имевшейся в этой точке в предшествующий t момент t . Сумма произведений этого вида по всему объему и даст искомое значение у. Так. обр. действие зарядов и токов, удаленных от Р на расстояние R, сказывается в Р лишь по прошествии промежутка времени И/с. Это значит, что электромагнитные действия зарядов и токов распространяются не мгновенно, а со скоростью с, равной скорости света.
Эквивалентные системе (Г) — (V') уравнения (36) и (37) показывают, во-первых, что источником поля в конечном счете являются только заряды и их движение и, во-вторых, что все электромагнитные действия распространяются с одинаковой конечной скоростью с.
Весьма существенно, что значение этой постоянной с может быть определено двумя совершенно независимыми методами. Во-первых, этот коэффициент входит в уравнения (14) и (16), определяющие магнитное поле токов и силы, действующие со стороны данного магнитного поля на находящиеся в нем токи. Т. о. значение так наз. электродинамической постоянной с может быть определено напр. путем измерения механических или пондеромоторных сил взаимодействия постоянных токов. С другой стороны, значение с может быть определено путем непосредственного измерения скорости распространения электромагнитных возмущений, напр. электромагнитных (в частности световых) воли.
Совпадение результатов измерения с этими совершенно различными методами является одним из наиболее убедительных подтверждений всей современной теории Э.
Пользование, наряду с уравнениями (Г) — (IV'), также и уравнениями (36) и (37), характерно для современной теории Э. Фарад ейМаксвеллова теория сосредоточивала все внимание на поле, не приписывая зарядам никакой самостоятельной значимости. С точки зрения этой теории термин «заряд» являлся в сущности лишь кратким обозначением тех участков поля, в к-рых сумма производных напряженности поля = div Е оказывалась отличной от нуля [см. уравнение (III)]. Электронная же теория восстановила заряд в его правах источника поля.
Заметим в заключение, что электромагнитные потенциалы <р и А играют существенную роль также и в теории постоянного электромагнитного поля. В этом случае как q и J, так и (р и А от времени не зависят, и вычисление интегралов (37) значительно упрощается. Далее, в виду независимости Л от времени, электрическое поле согласно (36) однозначно определяется одним только скалярным потенциалом 99, а магнитное — только векторным потенциалом А. Т. о. электрическое и магнитное поля в этом случае оказываются независимыми друг от друга. Заметим, что в случае постоянного электрического поля потенциал ср, определяемый уравнением (37), совпадает с потенциалом <р, определяемым из работы сил электрического поля [уравнение (19)].
Энергия электромагнитного поля. Поток энергии. Как уже указывалось выше, электро-
