ЭЛЕКТРИЧЕСТВОДля записи этих дифференциальных уравнений удобвоспользоваться обозначениями векторного исчисления (см.) и введенными там понятиями о дивергенции (см.) и вихре или роторе (см.) данного вектора.
Если А есть вектор, Слагающие к-рого Ах, Ау, Аг явля^ тотся непрерывными функциями координат, то дивер генцией вектора А называется скаляр, обозначаемый через div А и равный
но
div А = ~ .
(34) дх ду дх Далее, ротором или вихрем вектора / называется вектор, обозначаемый через rot А (или curl А), слагающие к-рого соответственно равны х
г
го^л =
х
л'
. Результат такого преобразования выражается наиболее просто, если ввести в рассмотрение две вспомогательных величины — т. н. скалярныйивекторный запаздывающие потенциалы эле ктр о магнитного поляки А. С помощью этих величин напряженности поля Е тлЛ выражаются cnenvioiqnM образом: 1дА Е = - grad <р с dt (36) Я — rot А где grad <р есть градиент (см.) скаляра <р.
С другой стороны, <р и А следующим образом выражаются через плотность зарядов и токов е и j:
roW =
дАх дА~ . . дАу дАТ dz дх dx dy С помощью этих обозначений дифференциальные нения, эквивалентные интегральным уравнениям (IV) и (VI), записываются следующим образом . _ 1 дН, т, _ . „ 1дЕ, 4л.
r0t Е = - с ~dt ’ (П rOt cTt+
d. iv-Е=4л£>, (III’)divJff=O, (IVх)
(35)
урав(I) —
/тт, ч (П >
где объемные интегралы должны быть распространены цо всему бесконечному пространству. Смысл этих выражений такдв. Чтобы определить напр. значение <р в точке Р в момент t, нужно для каждого элемента пространства dV вы divj=-^. (УГ)
числить произведение---- — ' dV, где R есть расстояние
Отметим еще — раз, что уравнения (I) — (IV) и (VI) полностью эквивалентны уравнениям(I ') — (IV') и (VI'): из каждого интегрального уравнения однозначно вытекает справедливость соответствующего дифференциального уравнения и обратно.
Из этих уравнений непосредственно явствует, что законы электродинамики носят характер законов близкодействия. Поле 12. иН в данной точке пространства Р и в данный момент времени t однозначно определяется плотностью и движением зарядов и напряженностью поля, относящимися к смежны мсР точкам пространства иксмежнымс-t моментам времени, вне всякой непосредственной зависимости от состояния зарядов и поля в удаленных участках пространства или в предшествовавшие t отрезки времени. Ибо, с одной стороны, уравнения (I') — (IV') устанавливают однозначную связь между значениями, к-рыми обладают величины qиjи производные от Е и Н по координатам и по времени в данной точке Р в данный момент t; а с другой стороны, самые значения этих производных от Е и Н однозначно определяются значениями ЕиНв бесконечно близких к Р точках в бесконечно близкие к t моменты времени.
этого элемента от рассматриваемой точки поляР, a q есть значение плотности Э., имевшейся в этой точке в предшествующий t момент t. Сумма произведений этого вида по всему объему и даст искомое значение <р. Таким образом действие зарядов и токов, удаленных от Р на расстояние R, сказывается в Р лишь по прошествии промежутка времени Р/с. Это значит, что электромагнитные действия зарядов и токов распространяются не мгновенно, а со скоростью с, равной скорости света.
Скорость распространения поля и запаздывающие потенциалы. Уравнения поля, об ладая характером законов близкодействия, вместе с тем могут быть рассмотрены и с несколько иной точки зрения. В предыдущем неоднократно подчеркивалось, что электрическое поле может возбуждаться не только непосредственно зарядами, но и изменениями поля магнитного, и обратно. Однако вконеч ном счете источниками электромагнитного поля являются только заряды и их движение (токи проводимости, а не токи смещения). Другими словами, уравнения (I') — (IV') можно преобразовать так, чтобы поле в любой точке пространства определялось только распределением и движением зарядов. Однако при этом сказывается то обстоятельство, что действие зарядов и токов распространяется не мгновенно, а с конечной скоростью с. Поэтому поле в данной точке Р в момент t определяется не мгновенным распределением и движением зарядов в тот же момент t и в той же точке Р, а распределением и движением зарядов во всем пространстве в предшествующие t моменты времени. '
Эквивалентные системе (Г) — <V') уравнения (36). и (37) показывают, во-первых, что источником поля в конечном счете являются только заряды и их движение и, во-вторых, что все электромагнитные действия распространяются с одинаковой конечной скоростью с.
Весьма существенно, что значение этой постоянной с может быть определено двумя совершенно независимыми методами. Во-первых, этот коэффициент входит в уравнения (14) и (16), определяющие магнитное поле токов и силы, действующие со стороны данного магнитного поля на находящиеся в нем токи. Т. о. значение так наз. электродинамической постоянной с может быть определено напр. путем измерения механических или пондеромоторных сйл взаимодействия постоянных токов. С другой стороны, значение с может быть определено путем непосредственного измерения скорости распространения электромагнитных возмущений, напр.'электромагнитных (в частности световых) волн.
Совпадение результатов измерения с этими совершенно различными методами является одним из наиболее убедительных подтверждений всей современной теории Э.
Пользование, наряду с уравнениями (I') — (IV'), также и уравнениями (36) и (37), характерно для современной теории Э> ФарадейМаксвеллова теория сосредоточивала все внимание . на поле, не4 приписывая зарядам никакой самостоятельной значимости. С точки зрения этой теории термин «заряд» являлся в сущности лишь кратким обозначением тех участков поля, в к-рых сумма производных напряженности поля 4= div . Б оказывалась отличной от нуля [см. уравнение (III)]. Электронная же теория восстановила заряд в его правах источника поля.
Заметим в заключение, что электромагнитные, потенциалы <р и А играют существенную роль также и в теории постоянного электро-
