ЭЛЕКТРИЧЕСТВО586
сечение тока движущимися элементарными час
д, находящегося внутри объема V. Иными слотицами (электронами, ионами и т. д.). Едини
вами це силы тока соответствует протекание еди-, = (И) ницы заряда в секунду. В практической системе единиц единицей силы тока является [Кружок у знака интеграла должен ознаампер: чать, что интеграл берется по замкнутой по1 кулон верхности (или, в дальнейшем, по замкнутой 11 ампер = 1
' „ „т/ * секунду линии)].
Заряд, переносимый в единицу времени через Это весьма важное уравнение называется единицу площади сечения тока 8, называется уравнением непрерывности и плотностью тока и обозначается бук
является математическим выражением постувой j\ лата сохранения количества Э. В (9> случае постоянных токов распределение зарягде £ есть сечение тока. Однако если ток не
дов не меняется со временем, т. е. — = 0, и стаоднороден, т. е. неравномерно распределен по ло бытьи левая часть формулы (11) тоже равна сечению S, то плотность тока j будет различной нулю. Это значит, что положительные члены в различных точках сечения тока. Чтобы опре
интеграла или суммы (10а) в этом случае комделить ее значение в данной точке, нужно раз
пенсируются отрицательными, т. е. что если делить силу тока dJ, протекающего через при
через одну часть поверхности 8 Э. вытекает из легающий к этой точке бесконечно-малый эле
нее наружу, то через другую ее часть поступает мент сечения тока, на площадь этого сечения dS внутрь равное количество Э.
Легко сообразить, что в случае постоянного . <9а) тока, протекающего по нетглеющему разветвлеОбычно плотность тока j считают векто • ния проводнику, через любое сечение проводчиром, направление к-рого в каждой точке сов
ка протекает ток одинаковой силы: в противном падает с направлением тока. При этом нап
случае в нек-рых участках проводника должно равление тока совершенно условно считается было бы происходить постепенное накопление совпадающим с тем направлением, в котором зарядов и ток не был бы постоянным. Именно должны были бы двигаться положительные поэтому можно говорить просто о силе постоянзаряды. В силу меньшей своей массы электро
ного тока, не указывая о каком именно сечены гораздо более подвижны, чем протоны, и нии тока идет речь. По той же причине постоянпоэтому в большинстве случаев электрический ные токи всегда замкнуты, ибо в противном ток обусловлен движением именно электронов. случае у концов тока происходило бы накоплеВ этих случаях приходится считать ток «теку
ние зарядов.
Q, заключенный внутри произвольного объщим» в сторону, обратную действительному емаЗаряд V, может быть выражен через плотность Э. в этом направлению движения отрицательных заря
объеме с (т. е. через величину заряда q, приходящегося на единицу объема) с помощью уравнения дов.
Итак, количество Э., протекающего в единиg = JedV, цу времени через элемент сечения то^а dS, v
равно dJ = jdS', при этом предполагается, что QdV по определению есть заряд элемента объема dV. элемент сечения тока dS перпендикулярен нап
ибо Внося это выражение в формулу (11), получаем нескольравлению тока. Если же площадка dS не пер
ко измененную форму уравнения непрерывности: пендикулярна току, то количество протекаюjb„dS=-^ JedV.
(11а) щего через нее Э. определится формулой S V dJ == /cos (J, ri) dS = jndS, (10)
где n есть направление нормали к площадке dS, a jn — нормальная слагающая плотности тока j.
При этом силу тока dj нужйо считать положительной или отрицательной в зависимости от знака cos (У, п), т. е. в зависимости от того, протекает ли ток через площадку dS в направлении нормали п или в обратном направлении.
Рассмотрим теперь произвольную поверхность $.• Общее количество протекающего через нее Э. определится очевидно суммой или, что в сущности то же, интегралом выражений (10), взятым по всем ее элементам:(10а) S
%
Если эта поверхность 8 замкнута (как напр. поверхность шара), то сумма эта будет . очевидно равна общему количеству Э., выходящему за единицу времени из ограниченного поверхностью 8 объема V (если п есть внешняя нормаль к поверхности). С другой стороны, согласно одному из основных постулатов теории, Э. не может ни возникать ни исчезать.
Следовательно количество Э., вышедшего за 1 сек. за пределы объема F, должно, равняться убыли — — за тот же период времени заряда
Легко наконец найти связь между плотностью тока j и числом и скоростью элементарных зарядов (электронов, ионов и т. п.), образующих своим движением этот ток.
Пусть на единицу объема тока приходится п движущихся элементарных зарядов величины д0 • Предположим сначала, что все эти заряды двигаются с одинаковой скоростью v. В этом случае за единицу времени все они перемещаются на расстояния v и стало быть через произвольную площадку dS, перпендикулярную к и, за единицу времени должны пройти все те и только те заряды, к-рые находились внутри цилиндра с основанием dS и высотой v.
Объем этого цилиндра равен v • dS, число находящихся в нем зарядов равно п • v • dS и стало быть сила проходящего через dS тока равна: d J = qonvdS, откуда на основании равенства (9а) получаем J=dS=’, ao°(12) Очевидно, что эта формула остается справедливой и в том случае, если скорости различных зарядов неодинаковы, если только при этом под v понимать среднюю скорость зарядов.
Наконец если через q обозначить объемную плотность,, движущихся зарядов Q = nq0 (13) и если учесть, что вектор J параллелен вектору v, то уравнение (12) примет вид: J = qv.
(12а) В рамках макроскопической теории в этом уравнении под q и v нужно понимать среднюю плотность и среднюю скорость движущихся в проводнике зарядов.. Однако это уравнение остается справедливым и при микроскопическом рассмотрении явлений; под q нужно понимать в этом
