Страница:БСЭ-1 Том 59. Францоз - Хокусаи (1935)-1.pdf/184

Эта страница не была вычитана

где Рт, п(х, у) есть многочлен от букв хиуи где переходы к пределу буквами тип простые (счетные), а переход к верхнему пределу буквой у есть непрерывный (несчетный), уже несводимо к выражению Бера при надлежащем подборе многочлена Pw, п(х, у).

И вместе с тем выяснилось, что очень часто аналитические выражения, как предвидел это Борель, не служат ни к чему, т. к. даже Ф. класса 1 классификации Бера невидимому ставят нас лицом к лицу с принципиально неразрешимыми проблемами. Указанные вопросы о природе аналитических выражений далеко еще не разрешены. Но следует указать на то, что среди мнений математиков, возражающих против определений Ф. Дирихле, имеются заметные и важные нюансы: так, в то время как Лебег мирится с любым законом (логическим или математическим), лишь бы он давал Ф. индивид, Борель вносит дальнейшее ограничение, требуй, чтобы закон был счетным(т. е. имеющим дело с натуральными числами, а не с континуумом). Брауэр повидимому идет еще дальше, отказываясь рассматривать даже бесконечность натуральных чисел.

Функции комплексного переменного. Совсем иные судьбы претерпело определение Ф., имевшее целью дать понятию Ф. такое содержание, при к-ром «знание малой дуги рассматриваемой кривой приводит к знанию всей кривой». Правда, подобно тому как Дирихле на пути действительного переменного удалось дать такое определение Ф., которое рассматривалось как уже окончательное, так и на пути комплексного переменного Вейерштрассу удалось прийти к определению Ф., к-рое столь совершенно, что большинство математиков и до сих пор рассматривает его как единственное и во всяком случае как исчерпывающее все нужды практики. Однако в то время как критика определения Дирихле явным образом домогается его сужения, критика определения Вейерштрасса, наоборот, ищет его расширения. Работам Вейерштрасса предшествовали работы Коши (1789—1857). Коши первый понял, что упомянутое свойство кривой определяться малой дугою нужно объяснять привлечением комплексного переменного: это переменное должно играть хотя и вспомогательную, но неизбежную роль. Мысли Коши и его основные теоремы были приведены в порядок и систематизированы Вейерштрассом(1815—1897).

Основная идея Вейерштрасса состояла во введении т. н. аналитического продо л же ни я. Из изысканий Коши следовало, что всякий ряд Р (®-а), расположенный по положительным степеням разности х — а, сходится внутри круга С с центр бм в точке а определенного радиуса, вне к-рого он заведомо расходится. Сумма же ряда внутри круга С имеет производные всех порядков. Вейерштрасс рассматривает эту сумму ряда Р (х-d) Как «аналитическую функцию», определенную внутри круга С, и ищет расширения области существования этой функции путем особого процесса.

Основная теорема, на к-рую этот процесс опирается, следующая: если круги сходимости двух данных рядов Р(х-а) и Р (х — Ъ) пересекаются и если в общей части' этих кругов имеется точка, в которой значения обеих сумм и всех их производных соответственно равны, тогда обе суммы рассматриваемых рядовтождественны в общей части обоих кругов. Вейерштрасс рассматривает в этом случае каждый из указанных двух рядов как непосредственноепродолж ение другого и называет каждый из них «Элементом» определяемой аналитической Ф. Вот определение Ф. (аналитической) по Вейерштрассу: аналитическая Ф. f(ж) есть совокупность элементов, вы водимы хи зданногопомощью последовательных непосредственных продолжений. Вольтерра и Пуанкаре внесли окончательную ясность в это определение, доказав, что для полного определения аналитической Ф. во всем поле ее существования достаточно проделать лишь счетное число непосредственных продолжений.

Аналитическая Ф. f(#) называется однозначной, когда нет точки я, в к-рой два различных элемента Р(х  — а) и Р(х  — Ъ) Ф. имели бы существенно различные значения. Совокупность точек г, находящихся внутри кругов, принадлежащих элементам рассматриваемой однозначной Ф. /(#), называется естественной областью ее существования. Всякая точка, принадлежащая границе естественной области существования однозначной Ф., называется о собой точкой этой Ф. Основной теоремой является следующая: на окружное т и с ход им ости всякого элемента аналитической Ф. f(z) лежит особая точка.

Определение Ф., данное Вейерштрассом, сразу внесло яркий свет в бесчисленные обдасти математического анализа, казавшиеся до того времени темными. Оно сразу объяснило бесчисленное количество парадоксов и вызвало необъятное количество работ (продолжающихся и до сих пор), посвященных свойствам аналитических Ф. Казалось, что наконец было найдено определение Ф. столь совершенное, что дальше предстоит лишь изучать свойства, из него вытекающие. Самое главное, что казалось наконец разгаданным то свойство Ф., в силу к-рого «значение малого участка кривой определяет ее всю»: это свойство явилось просто следствием самого определения Ф. Вдобавок ко всему разъяснились многие неразгаданные раньше свойства аналитических выражений, преимущественно рядов и бесконечных произведений: равномерно-сходящийся рядйв какой-нибудь области D, составленной из аналитических Ф. в этой области, оказывался имеющим своей суммой аналитическую Ф. в D.

Загадка аналитического выражения, сходящегося к разным Ф. в разных областях, объяснялась тем, что между этими областями была нарушена равномерная сходимость, как напр.

У ряда 1 + ? . 27 1—7 “Г 72—1

2? 2 *, 74—1

2? 4 ? 8—1

,

сходящегося к +1 внутри круга И=1и к  — 1 вне его. Так. обр. понятия аналитической Ф. и аналитического выражения были расцеплены. Первые совершенно, определенные указания на недостаточность определения Ф., по Вейерштрассу, были сделаны Борел ем (1895), к-рый несколько раз делал попытки построения более общей теории, чем теория Вейерштрасса.

Из этих попыток две первые встретили решающие возражения Пуанкаре и Пенлеве. И лишь третья (1917) должна быть признана удовлетворительной. Поискам нового, более широкого класса Ф.<, чем аналитические Ф. Вейерштрас-