раз навсегда изгнанной: хотя всякая Ф. и является, по существу, совокупностью численных значений, соответствующих различным величинам переменного ж, однако эту совокупность нельзя просто передать из рук в руки, как упомянутый мешок; здесь совершенно необходимо описание закона соответствия всякому х числа у(х), причем именно этот закон и должен быть сообщаем всякому, кто хочет рассматривать эту Ф. 2/(ж). Для нашего ума «все приводится к конечному», замечает Бер. Борель, желая по возможности точнее выявить всю разницу его взглядов и взглядов Цермело и Адамара, производит такой «умственный эксперимент».
Прежде всего он отмечает, что десятичное разложение числа л= 3, 1415926535... следует рассматривать как вполне определенное, потому что во всех учебниках по элементарной геометрии показывается, каким образом можно вычислить сколько угодно десятичных знаков. В силу этого всякий десятичный знак, напр. миллионный, можно рассматривать как вполне определенный, даже если он еще никем не был вычислен. Потом Борель берет миллион людей, выстроенных в ряд, и, заставляя каждого назвать наудачу десятичный знак, получает нек-рое десятичное разложение, обрывающееся на миллионном десятичном знаке. Зто разложение Борель продолжает еще рассматривать как вполне определенное. Наконец Борель предлагает расположить в ряд не миллион людей, а бесконечное множество и заставить каждого из них назвать наудачу десятичный знак. Борель спрашивает, можно ли полученное таким образом бесконечное десятичное разложение продолжать еще рассматривать как вполне определенное, как напр. вполне определенным является десятичное разложение числа л. Ответ Бореля гласит: математики с таким складом ума, как у Цермело и Адамара, конечно будут рассматривать это бесконечное десятичное разложение как «вполне определенное».
За самого же себя Борель отвечает отрицательно, ибо полученное таким образом число может оказаться лишенным закона, так что два математика, разговаривающие о нем, никогда не будут уверены в том, что говорят об одном и том же числе; не обладая законом, образующим десятичные знаки такого числа, они не могут быть уверены в его тождестве, Лебег выразился еще определеннее, утверждая, что математик, не обладающий законом, осуществляющим рассматриваемую им Ф. у(х), никогда не может быть уверен, что в разные моменты своего рассуждения он говорит о той же самой функции: здесь дело идет уже не об общем языке двух математиков, а просто о согласии математика с самим собой. Наоборот, Адамар, полемизируя с Борелем, утверждает, что нисколько не затруднительно рассматривать как вполне определенные десятичные разложения, «лишенные закона», т. к. напр. в кинетической теории газов говорят о скоростях молекул в данном объеме газа, хотя никто никогда в действительности их не будет знать. Адамар указывает, что требование закона, определяющего рассматриваемую Ф. у(х), сильно напоминает требование аналитического выражения для Ф. и значит отбрасывает нас назад к 18 в.
Математические работы Бера и Лебега пролили много света, хотя вместе с этим и чрезвычайно запутали вопрос. Бервзялся за систематическое исследование изображения Ф. аналитическими выражениями. Принимая во внимание, что в силу теоремы Вейерштрасса всякая непрерывная Ф. f(x) изобразима как сумма равномерно сходящегося ряда оо многочленов f(x) = 2 Pw(®), Бер называет все П=1 непрерывные Ф. — ф ункциями класса 0. Далее, функциями класса 1 Бер называет такие разрывные Ф. f(x), которые являются пределами непрерывных Ф., т. е. f(x) = = lim fn(x). Функции f(х), к-рые не относятся к п -> + оо классам 0 или 1, но к-рые являются пределами Ф. класса 1, Бер называет функциями класса 2 и т. д. Определение Бера идет по всем конечным числам и по всем счетным трансфинитным числам, в результате чего Бер получает свою знаменитую классификациюфункций: Ко, Klt К2, ... 1 2.
Всякая Ф. Дж), входящая в классификацию Бера, имеет определенное аналитическое изображение помощью многочленов, над к-рыми простираются знаки переходов к пределу, в конечном или счетном числе. Таков тип аналитических выражений, рассмотренных Бером. Лебег существенно дополнил изыскания Бера, доказав, что рассмотрение всех иных аналитических действий, как-то: дифференцирование, разложение в ряды, интегрирование, привлечение каких-либо трансцендентных функций, как напр. sin ж, log ж и т. д., совершенно бесполезно, т. к. всякая Ф. Дж), образованная конечным или счетным числом таких операций, необходимо войдет в классификацию Бера. Лебег притом дал важное доказательство существования Ф. Дж) в каждом классе Ка классификации Бера и в заключение нашел глубокомысленным, но чрезвычайно сложным приемом индивидуальную функцию Дж), уже не входящую в классификацию Бера. Открытие Лебега произвело столь же ошеломляющее впечатление, как в свое время открытие Фурье: результат Лебега показал, что логическое определение индивидуальной Ф. является более широким, чем чисто математическое определение, т. к. путем логического определения была получена частная Ф.
Дж), к-рая не может быть получена никакими переходами к пределу в конечном или счетном числе, отправляясь от многочленов. Ф., определенная Лебегом и невходящая в классы Бера, очень сложна, и природа ее еще не изучена. Но московские работы показали, — что самый деликатный пункт рассуждений Лебега вызывает возражения: когда Лебег доказывал, что всякое аналитическое выражение, составленное из математических знаков, в конечном или счетном числе преобразуется в выражение Бера, составленное из простых (счетных) переходов к пределу, то он, не имея действительно исчерпывающего каталога всех возможных аналитических выражений, подвергал свое дело большой опасности, т. к. всегда могло оказаться аналитическое выражение, не преобразующееся в выражение Бера. И действительно московские работы показали, что уже аналитическое выражение Дж) = lim lim lim Рт, „(ж, у), ^->4 — со m~* + oo п->+оо
